高等数学部分知识题目解析摘录Word文件下载.docx
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向量代数
其他类型习题
简称
上册:
《高等数学》上册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编
下册:
《高等数学》下册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编
讲义:
《高等数学习题课讲义》(第三版)上册薛运华赵志勇编著
提示
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1.如果被积函数中明显含有复合函数,就能顺藤摸瓜,找到中间变量,也就是找到凑微分的对象。
只要在被积函数中再找出,就可以凑微分了(允许差一个常倍数)。
2.如果复合函数不明显,但被积函数中有一个因子适合看成,也可以先凑微分,再看剩余部分能否理解成的函数.
3.有些题则需要主动进行恒等变形,将被积函数中分解成与的乘积。
讲义112页14.2(9)
006
解题思路如下
008
分子分母同时乘以x,xdx凑微分
也可以直接令t=
如果把x换成tant呢?
估计也行。
011
012上册200页A1(62)
013
022
先通分,然后注意到
是的导数,是f的导数
于是可以通过商的导数公式凑出来
以去掉根号,简化运算为最终目的,其他的都是手段
总结规律是为了提高尝试的成功率
熟练掌握后,什么招好使就使什么招,规律也有例外
003
028上册198页A1(16)
上面的解答有点小问题
还可以这样
因为不定积分是在某个区间内求原函数,两种区间只能取其中一个(也可以是子区间),所以也可以不讨论。
假设换个题,被积函数处处有定义,就得注意讨论了。
但是中,x<
-1时,这两个C不相等,前一个叫C1比较好。
如果是用表示原函数,则必须分类讨论了。
因为有x的奇数次方,
这样更省事。
032
035讲义习题15.2(7)
还要把t换回x
041
令t=,可以算,但很麻烦
所以选取以下做法
024上册200页(63)
忘了+C
图里写得不太正式,第一行的意思是,首选对数函数、反三角函数作u(x),剩下的凑成dv
如果没有,再选多项式函数作u(x)
解方程的例子:
抽象函数的例子:
抵消的例子:
048上册201页A2
002上册198页(21)
解法二
004
上面的解法忘记+C
007
分部积分时,首选对数函数、反三角函数作u(x)
这题两个都出现了,任选一个作u(x),先干掉一个,剩下那个就好办了
上面的方法选择对数函数作u(x),下面的方法选择反三角函数作u(x),都是可以的(跳步的地方请读者自行脑补)
实际上,也可以选择对数函数和反三角函数的乘积作u(x),解法如下
009上册199页(39)
39题答案是错的,正确计算会比较麻烦,可以跳过此题。
这个函数在x=1不可导,
所以在点x=1不能用分部积分法,需要先求其他处的原函数,然后利用原函数连续性求出x=1处的值。
详细解答如下:
010上册199页(40)
部分分式就这四种
只要分母中有二次不可约因式,分子就是一次多项式
否则分子是常数
有理真分式如何拆成部分分式
1、先把分母f(x)因式分解,分解成一次因式、二次不可约因式的乘积
2、凡是分母能够整除f(x)的部分分式都要在右式出现,不能整除的不出现
3、右式通分,对比两边的分子
4、可以对比多项式各项系数,也可以代入x的特殊取值,求出部分分式的分子中那些待定系数
018上册199页(42)
可以推广到整数
本题是m=-1,n=0的情形
015上册220页B4
(2)
其中
这是普通的定积分,c>
最后再求极限
逼近
030上册219页A10
033上册211页B1
定积分变上限积分(参见习题课讲义134-136页)
注:
f连续,且被积函数不含参变量x,才能用以上公式。
求导:
换元,令u=x-t,再求导即可
019上册219页A1(4)求导
026上册211页A8
005
016上册220页B5,B6
6题见习题课讲义129页例16.8
5题方法与6类似
036
积分中值定理即可
021上册211页B7
025上册211页B6
老师第六题可以用柯西中值定理吗?
g(x)有时可能=0,不满足柯西中值定理的条件
029上册211页A7
042上册219页A4
020上册211页B2
方法一
方法二
031上册230页A8
037上册231页B7
040上册229页A2(4)
上面是用三角换元,和处理二次根式的方法一样。
于是把分母都变成一个整体,而不是几项相加。
本题也可以看成第四种部分分式,那样有点麻烦。
043上册229页A2(3)
045上册229页A2(11)
解法一
sinx+cosx的导数是cosx-sinx
可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx
解a,b
拆成两个分式
换元t=pai/2-x也可以
038上册219页A3(3)
017上册219页A3(5)
046上册231页B4
丢个dx
被积函数是中心对称函数和轴对称函数乘积,且对称中心在对称轴上
044上册231页B1
023上册229页A2(5)
解题思路如下(含解法二)
可以像第一个解法那样分两个区间,也可以像第二个解法,不分割区间
换元时,x和t是对称点,f(x)=f(t)
相当于把对称点处的两个被积函数值相加,x+=是常数可以提出去了
剩下的积分就好求了
解法三
解法四
解法五
049上册251页A15
047下册15页A3
利用角分线定理
本题也可以利用角分线定理+定比分点公式
以下为其他类型习题
014
老师,有这个公式吗?
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