届福建省三明市B片区高中联盟校高三上学期期末考试理科数学试题及答案.docx
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届福建省三明市B片区高中联盟校高三上学期期末考试理科数学试题及答案
三明市B片区高中联盟校2017-2018学年第一学期阶段性考试
高三数学(理科)试题
(考试时间2018年2月6日下午3:
00-5:
00满分150分)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh,
其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径
第I卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数的最小正周期为
A.B.C.D.
2.已知是虚数单位,则=
A.B.C.D.
3.已知向量,则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
理科数学第1页(共5页)
4.设集合,,则
A.B.C.D.
5.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:
),则这个几何体的体积是
A.B.C.D.
6.执行如右图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输出的P值为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.下列函数中,为偶函数且在内为增函数的是
A.B.
C.D.
8.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为
A.B.C.D.
9.已知幂函数的图像过点,令,,记数列的前项和为,则=10时,的值是
A.110B.120C.130D.140
10.设是一个非负整数,的个位数记作,如,,,
称这样的函数为尾数函数.给出下列有关尾数函数的结论:
①;
②若,都有;
③;
④.
则正确的结论的个数为
A.1B.2C.3D.4
理科数学第2页(共5页)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.由三条直线和曲线所围成的图形的面积为▲▲▲▲▲.
七年级
八年级
九年级
女生
204
a
120
男生
198
222
b
12.某初中校共有学生1200名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽取l名,抽到八年级女生的概率是0.18,现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生,则在九年级应抽取▲▲▲▲▲名学生.
13.已知等比数列的第项是二项式展开式的
常数项,则▲▲▲▲▲.
14.已知实数满足,,若z的最大值为12,则的最小值为▲▲▲▲▲.
15.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为▲▲▲▲▲.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知向量,函数.
(Ⅰ)求的最小正周期和对称轴方程;
(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若且,,求的值.
17.(本小题满分13分)
2017年11月6日,第十届海峡两岸林业博览会暨投资贸易洽谈会在福建三明召开.为了做好林博会期间的接待服务工作,三明学院学生实践活动中心从7名学生会干部(其中男生4人,女生3人)中选3人参加志愿者服务活动.
(Ⅰ)所选3人中女生人数为,求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)在男生甲被选中的条件下,求女生乙也被选中的概率.
18.(本小题满分13分)
如图,四边形是正方形,面,,且,M为PC中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角大小的余弦值.
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19.(本小题满分13分)
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,左右顶
点分别为A,B,经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D(异于A,B)两点.
(I)求椭圆标准方程;
(II)求四边形的面积的最大值;
(III)若是椭圆上的两动点,且满,动点满足(其中O为坐标原点),是否存在两定点使得为定值,若存在求出该定值,若不存在
说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知函数常数)在处的切线垂直于轴.
(I)求实数的关系式;
(II)当时,函数与函数的图象有两个不同的公共点,求实数的取值范围;
(III)数列满足(且),,数列的前项和为,
求证:
(,是自然对数的底).
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21.(本小题满分14分)
本题设有
(1)、
(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2个小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵的两个特征值为6和1.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求矩阵.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数,),以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出圆的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若圆上的点到直线的最大距离为3,求半径的值.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲
若为正实数且满足.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)求的最大值.
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三明市B片区高中联盟校2017-2018学年第一学期阶段性考试
高三数学(理科)参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
C
C
D
A
B
B
11、412、6013、14、15、
16.解:
(Ⅰ)由
于是…………………3分
所以的最小正周期为,…………………4分
由,得.…………………6分
(2)由,得.
为锐角,∴,,∴.…………………9分
∵,,∴.…………………10分
在△ABC中,由正弦定理得,即.………13分
17.解:
(1)得可能取值为0,1,2,3
由题意P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=…4分
0
1
2
3
∴的分布列、期望分别为:
Eξ=0×+1×+2×+3×=…………8分
(2)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为…………10分
∴P(C)=……12分
理科数学第1页(共6页)
在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为……13分.
18.解:
法一:
(1)取中点,连接,
则,又面,
所以,
于是,
又面,面,
所以面,由面,得…………6分
(2)延长交于,过作交于,连接,
则易证的二面角的平面角,不妨取,
则由已知可得,于是,所以…………13分
法二:
(1)过作交于,
则易得边边形为平行四边形,
又面,面,
…………6分
(2)同法一
法三:
(1)由题意可知,两两互相垂直,
以点为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,不妨取,
则
,得,,
由,…………6分
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(2)由
(1)知
设面的法向量为,
由,得,取,…………9分
又面的法向量为,…………10分
设二面角的大小为,则.…………13分
19.解:
(I)由题设知:
因为抛物线的焦点为,
所以椭圆中的,又由椭圆的长轴为4,得,…………2分
椭圆的标准方程为:
…………4分
(II)法一直线斜率不为零,,代入椭圆方程得:
则有:
…………6分
(当且仅当,即时等号成立)…………8分
四边形的面积的最大值为4…………9分
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法二:
当直线斜率不存在时,的方程为:
,此时…………5分
当直线斜率存在时,设的方程为:
(其中)即代入椭圆方程得:
,
…………6分
…………8分
综上所述:
四边形的面积的最大值为4…………9分
(III)由,可得……①
又因为……②…………10分
由①②可得:
……12分
由椭圆的定义存在两定点使得………13分
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20.解:
(1),由,得。
…………………3分
(2)当时,,。
令,即,
于是函数与函数的图象有两个不同的公共点,
等价于有两个不同的根。
…………………4分
令,,…………………6分
∴在上单调递减,在上单调递增,且…………………7分
当时,,当时,,
∴当时,函数与函数的图象有两个不同的公共点。
……8分
(3),∴,∴,∴
∴…………………9分
由
(2)知,
令得即…………………11分
∴
累加得…………………13分
即∴得证…………………14分
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21.解:
(1)(Ⅰ)依题1,6是关于的方程,
的两个根,由韦达定理有…………4分
(Ⅱ),所以…………7分
(2)(Ⅰ)圆C的普通方程为:
,
直线的直角坐标方程为:
…………3分
(Ⅱ)圆C的圆心C到的距离
圆C上的点到的距离的最大值为,所以…………7分
(3)(Ⅰ)
当且仅当即时等号成立。
所以的最大值为…………3分
(Ⅱ)
当且仅当即时等号成立
所以的最大值为。
…………7分
命题:
范仁忠老师
审题:
范训库老师
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