六年级数学思维训练数论综合三Word下载.doc
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3.一个完全平方数是四位数,且它的各位数字均小于7.如果把组成它的每个数字都加上3,便得到另外一个完全平方数.求原来的四位数.
4.请写出所有各位数字互不相同的三位奇数,使得它能被它的每一个数位上的数字整除.
5.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0,得到一个三位数(例如21变成了201),结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除.请问:
所有满足条件的两位数之和是多少?
6.用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数,要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大,这两个三位数应该分别是多少?
7.一个自然数,它与99的乘积的各位数字都是偶数,求满足要求的最小值.
8.有3个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除.满足上述条件的3个自然数之和最小是多少?
9.小明与小华玩游戏,规则如下:
开始每人都是1分,每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3,输的小朋友保持分数不变,最后小明获胜,他比小华多的分数是99的倍数,那么他们至少玩了多少局?
10.对于一个自然数N,如果具有这样的性质就称为“破坏数”:
把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被N+1整除.那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”?
二、解答题(共12小题,满分0分)
11.
(1)求满足下列条件的最小自然数,使得它的平方的前两位是20;
(2)求满足下列条件的最小自然数,使得它的平方的后两位是04;
(3)求满足下列条件的最小自然数,使得它的平方的前两位是20,后两位是04.
12.已知n!
+4等于两个相邻自然数的乘积,试确定自然数n的值.(n!
13.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答案.
14.三个两位奇数,它们的最大公约数是l,但是两两均不互质,且三个数的最小公倍数共有18个约数.求所有满足要求的情况.
15.1×
4×
7×
lO×
2008的末尾有多少个连续的零?
16.一个四位数除以它后两位数字组成的两位数,余数恰好是它前两位数字组成的两位数.如果它后两位数字组成的两位数是质数,那么原来的四位数是多少?
17.任意一些末两位数是25的数相乘,它们的乘积末两位数仍是25,我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”.显然000是“变不掉的三位数尾巴”,请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”.
18.在3和5之间插入6、30、20三个数,可以得到3、6、30、20、5这样一串数,其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积.请你在4与3之间插入三个非零自然数,使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积.
19.M、N是互为反序的两个三位数,且M>N.请问:
(1)如果M和N的最大公约数是7,求M;
(2)如果M和N的最大公约数是21,求M.
20.用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少?
21.请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行,使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数.
22.一根红色的长线,将它对折,再对折,…,经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些红色的短线;
一根白色的长线,经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些白色的短线.已知红色短线比白色短线多.m且它们的数量之和是100的倍数.请问:
红色短线至少有多少条?
三、解答题(共8小题,满分0分)
23.求出所有正整数n,使得25+n能整除25×
n.
24.一个自然数至少有4个约数,并且该数等于其最小的4个约数的平方之和,请找出这样的自然数.
25.一个四位数的各位数字互不相同,将其千位与个位数字调换后形成新的四位数,新四位数与原数的最大公约数是63,则原四位数可能是多少?
26.一个不超过200的自然数,如裂川四进制表示,那么它的数字和是5;
如果用六进制表示,那么它的数字和是8;
如果用八进制表示,那么它的数字和是9.如果用十进制表示,这个数是多少?
27.把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边,得到一个四位数,这个四位数能被这两个质数之和的一半整除.这样的两个质数乘积最大是多少?
最小是多少?
28.用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数,你能否从这120个数里面找出11个数来,使得它们除以11的余数互不相同?
如果五个数字是1、3、4、6、8呢?
29.用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B.请问:
A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少?
最小公倍数最小可能是多少?
30.我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”:
如果一个整数M能被K整除,则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除,请求出100以内的所有的“巨人数”.
参考答案与试题解析
【分析】
(1)估算出40000和41000之间的平方数即可.
(2)估算略大于800、8000以及80000的数,看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可.
【解答】解:
(1)2002=40000,2012=40401,2022=40804,可见只有401和804可以.
(2)估算略大于800,没有;
估算略大于8000,没有;
估算略大于80000的数可得:
2842=80656,因此,最小数是656.
【分析】对任意偶数2k,其平方4k2必能被4整除,对任意奇数2k+1,其平方4k2+4k+1被4整除余1,由于当n≥4,1×
n+3被4除余3,故当n≥4时,1×
n+3不可能是一个自然数的平方.
对任意偶数2k,其平方4k2必能被4整除,对任意奇数2k+1,其平方4k2+4k+1被4整除余1,由于当n≥4,1×
将n=1,2,3代入知:
1+3=4=22
1×
3+3=9=32
故n=1,或n=3.
答:
自然数n的值为1或3.
【分析】设两个完全平方数个分别为A×
A和B×
B,由题意,B×
B﹣A×
A=3333,可以写作(B+A)×
(B﹣A)=3333,而3333=3×
11×
101,有可能的形式是3333=3333×
1或1111×
3或101×
33或303×
11,然后进行讨论解决.
两个完全平方数个分别为A×
(B﹣A)=3333而3333=3×
11也就是说A和B的和可能是3333,差可能是1,或者和是1111,差是3,诸如此类,共有4种情况但因为完全平方数A×
B是四位数,A和B最多是两位数,所以只能有A和B的和是101,差是33,那么A=(101﹣33)÷
2=34,原来的四位数为34×
34=1156.
【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字,再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可.
从1、3、5、7、9中选出3个,
显然无9,因为若有9,要求其他两位数字之和为9的倍数,这是做不到的.
从1、3、5、7选出三个数共4种情况,而有5时必须在末尾
①1、3、5:
135,315;
②1、3、7:
无(1+3+7=11不是3的倍数);
③1、5、7:
175,715(不是7的倍数,舍去);
④3、5、7:
735,375(不是7的倍数,舍去);
所以符合条件的三位数有:
135、315、175、735.
【分析】①设这样的两位数的十位数字为A,个位数字为B,由题意依据数的组成知识,可知100A+B能被10A+B整除;
②因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.而90A=2×
32×
5×
A,A的取值范围是1至9这9个数字.利用穷举法即可推出符合条件的两位数.
设这样的两位数的十位数字为A,个位数字为B,由题意依据数的组成知识,可知100A+B能被10A+B整除.
因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.
因为90A=2×
A,根据A的取值,可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示:
由上述列举可得,符合条件的两位数分别是:
10,15,18,20,30,40,45,50,60,70,80,90
10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90
=(10+90)+(20+80)+(30+70)+(40+60)+50+15+45+18
=450+60+18
=528
所有满足条件的两位数之和是528.
【分析】设组成两个三位数为A和B,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,设d=(A,B,540),540=2×
5,因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数,所以d的因数中不可能包含5,则d的最大值为:
3=108,据此解答即可.
设(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,
设d=(A,B,540),540=2×
5,
因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数,
所以d的因数中不可能包含5,
则d的最大值为:
3=108,
此时这两个三位数分别是432、756.
这两个三位数应该分别是432、756.
【分析】设自然数为n,与99的乘积为99n,然后根据99的整除性质,可知99n能同时被9和11整除,被9整除:
各位数字和,是9的倍数;
被11整除:
奇数位数字和与偶数位数字和的差,能被11整除(或为0).再根据各位数字都是偶数,且数字和是9的倍数,那么数字和就是18的整数倍.经过试算,可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解,六位数时,228888为最小的符合条件的数,进一步解决问题.
设自然数为n,与99的乘积为99n,
99=9×
11,99n能同时被9和11整除,
被9整除:
奇数位数字和与偶数位数字和的差,能被11整除(或为0).
各位数字都是偶数,且数字和是9的倍数
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