初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、精选)文档格式.docx
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+b²
=c²
(2)在直角三角形中,∠A=90°
,则下列各式中不成立的是()
A、BC²
-AB²
=AC²
B、BC²
-AC²
=AB²
C、AB²
+AC²
=BC²
D、AC²
+BC²
=AB²
2、应用勾股定理求边长
(3)已知在直角三角形ABC中,AB=10cm,BC=8cm,求AC的长.
(4)在直角△中,若两直角边长为a、b,且满足,则该直角三角形的斜边长为.
3、利用勾股定理求面积
(5)已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积为25π,16π,求另一个半圆的面积。
(6)如图
(1),图中的数字代表正方形的面积,则正方形A的面积为 。
(7)如图
(2),三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
(8)在Rt△ABC中,∠C=90°
,若AC=6,BC=8,则AB的长为()
A、6B、8C、10D、12
(9)在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证
推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
(等积法)
拼图法推导一般步骤:
拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。
(10)用四个相同的直角三角形(直角边为a、b,斜边为c)按图拼法。
问题:
你能用两种方法表示下图的面积吗?
对比两种不同的表示方法,你发现了什么?
(11)用两个完全相同的直角三角形(直角边为a、b,斜边为c)按下图拼法,论证勾股定理:
3、运用勾股定理进行计算(重难点)
(12)如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高?
(13)两棵之间的距离为8m,两棵树的高度分别为8m、2m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米?
【基础检测】
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
,若AB=13,BC=5,则AC的长为()
A.5B.12C.13D.18
2、已知Rt△ABC中,∠C=90°
,若cm,cm,则Rt△ABC的面积为( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
3、若△ABC中,∠C=90°
,
(1)若a=5,b=12,则c=;
(2)若a=6,c=10,则b=;
(3)若a∶b=3∶4,c=10,则a=,b=。
4、如图,阴影部分是一个半圆,则阴影部分的面积为 。
(不取近似值)
5、一个直角三角形的斜边为20cm
且两直角边长度比为3:
4,求两直角边的长。
6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8m,梯子的顶端下滑2m后,底端向外滑动了多少米?
【培优突破】
1、折叠问题
(1)如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为( )
A、4cmB、5cm
C、6cmD、10cm
(2)如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求线段EC的值
2、运用勾股定理解决生活中的实际问题
(3)如图,为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°
,并测得AC=20m,BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?
3、分类讨论(已知直角△的两边,求第三边)
(4)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为()
A、25B、7C、25或7D、不能确定
(5)已知3,4,a是一个三角形的三边长,若三角形为直角三角形,则的值是多少?
(6)在直角△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为多少?
4、利用方程解题
(7)如图,△ABC中,∠C=90°
,D是BC上的一点,已知BD=7,AB=20,AD=15,求AC的长.
(8)如图,已知△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长。
【培优训练】
一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A、B、C、D、
2.若三角形ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
1:
1,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中,成立的是( )
A.
a2+b2=c2
B.
a2=2c2
C.
c2=2a2
D.
c2=2b2
3.如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为( )
A、5B、6
C、7D、8
4.如图在直角△ABC中,∠BAC=90°
,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为( )
A、16B、15
C、14D、13
5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A、1B、
C、D、2
6.已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为( )
A、21B、15C、6D、以上答案都不对
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是( )
A、10B、5
C、D、
8.如图,阴影部分是一个矩形,它的面积是( )
A、
B、
9.张大爷离家出门散步,他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为( )m
30
B.
40
C.
50
70
10.如图在△ABC中∠C=90°
,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=64,且BD:
CD=9:
7,则点D到AB边的距离为( )
A、18B、32
C、28D、24
11.如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:
①x2+y2=49,②x﹣y=2,
③2xy+4=49,④x+y=9.
其中说法正确的是( )
A、①②B、①②③
C、①②④D、①②③④
二.填空题(共2小题)
12.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= _____ cm.
13.如图,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长是 _________ .
14、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.
求线段EF的长。
二、勾股定理的逆定理
【知识点3】勾股定理的逆定理
(1)如果△的三边满足关系满足,则该△为直角三角形。
(2)△的三边,假设c为最长边
①,则该△为三角形
②,则该△为三角形
(3)勾股定理逆定理的用途
典型题
(1)下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()
A.4,5,6B.2,3,4
C.11,12,13D.8,15,17
(2)若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( )
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6
C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
(3)下面的三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A-∠B;
②△ABC中,∠A:
∠C=1:
2:
3;
③△ABC中,a:
b:
c=3:
4:
5;
④△ABC中,三边长分别为8,15,17.
其中是直角三角形的个数有()个.
A.1B.2C.3D.4
(4)若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不等边三角形
(5)已知a,b,c为△ABC三边,且满足
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
(6)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.等腰三角形
(7)若△ABC的三边长分别长a,b,c,且满足,试判断△ABC的形状。
(8)△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。
(9)求:
①若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
②已知三角形三边的比为1:
:
2,则其最小角为。
【知识点4】勾股数
(1)勾股数是正整数
(2)满足的关系条件
(3)勾股数的n倍(n≠0),仍然满足
(4)常见勾股数
三、勾股定理的应用
1、与图形展开的有关计算(注意展开方式)
(1)某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
.
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离.
(3)如
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