3微分方程模型Word文件下载.docx
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之前各学科的研究有没有给我们提供一个可借用的一个结果?
我们可以假设血液在人体内流动,相当于粘性液体在刚性(所谓刚性是指血管不做胀缩,当然这也是简化了的)管道中流动。
模型假设:
1.一条粗血管在分支点处分成两条细血管,分支点附近三条血管在同一平面上,有一对称轴。
因为如果不在一个平面上,血管总长度必然增加,导致能量消耗增加,不符合最优原则。
这是一条几何上的假设。
2.在考察血液流动受到的阻力时,将这种流动视为粘性液体在刚性管道中的运动。
这是一条物理上的假设。
3.血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积及管壁所占体积的增加而增加。
管壁所占体积又取决于管壁厚度,而厚度近似地与血管半径成正比。
这是一条生理上的假设。
4.如图将实际问题符号化。
对于假设2,我们可以利用流体力学中关于粘性流体在刚性管道中流动时所受阻力的定理,即阻力与流量的平方成正比,与半径的4次方成反比。
所以血液在粗细血管中流动的阻力分别为,,是比例系数。
对于假设3,内表面积:
,体积,,显然与成正比。
综合考虑表面积与厚度对能量的影响,可设单位长度的血管壁提供营养的能量为,,为比例系数。
模型建立:
血液从过程中的总能耗。
,而代入。
。
最优原则,找极点,。
得,,,,
这就是能耗最小时的分支处几何形状。
可代入与算出一个大致范围。
,。
模型检验:
这里只提供检验模型的一个依据。
记动物的大动脉和最细的毛细血管的半径分别为和,设从大动脉到毛细血管共有次分岔,将反复利用次可得,的实际数值可以测出,例如对狗而言有,由可知。
因为,所以按照这个模型,狗的血管应有次分岔。
又因为当血管有次分岔时血管总数为,所以估计狗应约有,即条血管。
这样得到的数据可以从一个方面验证模型。
问题2最优存贮模型
某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器,假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的,订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。
如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的,试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货,一次订多少货)。
如果日需求为100元,一次订货费用为5000元,每件电器每天的贮存费1元,请给出最优结果。
1.这是一个最优化问题。
首先过程为
(1)订货。
配货中心将货品运往超市
(2)超市按稳定需求量售货(期间产生存贮费)
(3)当这批货品全部售完时,新货恰好到(因为要求不允许缺货)
这样的过程再次重复,我们可称之为一个销售周期。
2.其次这样的最优策略存在吗?
(跟据常识是存在的)
比如给大家三个方案,大家很快的就可以看出好坏来:
方案一:
每天订100元的货,订货费5000元,但无存贮费。
每天的费用为5000元。
显然不是最优的。
方案二:
每10天订一次货,订1000元的货,订货费5000元,存贮费900+800+…+100=4500元,10天总计9500元,平均每天费用950元。
比方案一要好的多。
方案三:
每50天订一次货,订5000元的货,订货费5000元,存贮费4900+4800+…+100=122500元,总计127500元,平均每天费用2550元,
思考1那么方案二是否是最优的呢?
恒量一个方案好坏的标准是什么?
是一个周期的总费用吗?
应该是每天的平均费用!
思考2那么平均费用和哪些因素有关?
无非是两种费用,订货费和存贮费。
周期短、订货量少—贮存费少、订货费高;
周期长、订货量大—订货费少,贮存费多。
所以存在最佳的周期和产量,使费用最少。
模型的假设:
(1)每天的需求量为常数r;
(2)每次的订货费用为c1,每天每件产品的存贮费为c2;
(3)T天订一次货,每次订Q件,且当存贮量为0时,立即补充,补充是瞬时完成的;
(4)为方便起见,将r,Q都视为连续量。
建模目的:
求T,Q使平均每天费用最少。
模型建立
将存贮量表示为时间的函数时,进货Q件这类小电器,储存量以需求r的速率递减,直到q(T)=0。
易见
一个周期的存贮费用
;
;
令;
得。
上式称为经济订货批量公式。
(1)订货费越高,需求量越大,则每次订货批量应越大,反之,每次订货量越小;
(2)贮存费越高,则每次订货批量越小,反之,每次订货批量应越大。
将代入,得T=10天,Q=1000件,c=1000元为最优方案。
思考:
1.不考虑生产费用和利润,隐含了哪些假设?
如配货中心有足够的货品等。
2.如果允许缺货会怎么办?
如果你是精明的商人,你会将没有赚到的钱视为损失。
问题3允许缺货的存贮模型
如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的,试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货,一次订多少货)
如果日需求为100元,一次订货费用为5000元,每件电器每天的贮存费1元,每件小家电每天的缺货费为0.1元,请给出最优结果
相应的可以利用上面的部分假设及结果,但对假设(3)就做改动,(3.1)设每隔T天进货吨,允许缺货,缺货费为。
模型II:
订货费,存贮费,缺货费,总费用,将代入,这里的函数中与上例不同,它们是两个独立的变量,这里应用二元函数,而二元函数的极值,可得,令,与上例相比多了个,即。
评注:
,即允许缺货时订货周期应增大订货批量应减小,且越大越小,即;
当缺货严重影响时,就成了不允许缺货情形。
三、微分动态模型
微分动态模型与静态模型不同,它通常是一个微分方程模型,那么它的解不再是一个数字了,而是一个函数。
当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程,分析它的变化规律,预测它的未来性态时,通常要建立对象的动态模型。
一般步骤:
(i)首先要根据建模的目的和对问题的具体分析作出简化假设。
(ii)然后按照对象内在的或可类比的其他对象的规律列出微分方程。
(iii)求出方程的解并翻译回实际问题,就可以进行描述了。
问题1水的流出时间
我们先来看一个简单的模型,这个模型我们在高数里边也见过类似的问题。
一横截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,由池底一横截面积为B的小孔放水。
设水从小孔流出的速度为,求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。
目的是找到一个水面高度与时间的函数关系。
第一步列方程:
如图,当时间为时水的高度为,当时间为时水的高度为。
这里
水面下降所失去的水量=从小孔中流出的水量
因而有(为水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
两端同除以,并令取极限,得,由于,
于是上式化为,
我们按照对象的内在规律得到的是一个微分方程。
第二步解方程:
这是一阶可分离变量方程,初始条件为。
变量分离、积分,得函数关系,这就是所求水面高度与时间的函数关系。
第三步求水放空的时间
令代入,得。
如设,,,,可算出。
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问题2CO2的吸收
空气通过盛有CO2吸收剂的圆柱形器皿,已知它吸收CO2的量与CO2的百分浓度及吸收层厚度成正比。
今有CO2含量为8%的空气,通过厚度为10cm的吸收层后,其CO2含量为2%。
问:
(1)若通过的吸收层厚度为30cm,出口处空气中CO2的含量是多少?
(2)若要使出口处空气中CO2的含量为1%,其吸收层厚度应为多少?
解:
设为位置CO2的浓度,由题知,所以
,,,得
(1)
(2)
问题3浓度变化问题
设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.
设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内
容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量-抽出的盐水中所含盐量
容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变(事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看).于是抽出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程
即
.
又因为时,容器内有盐kg,于是得该问题的数学模型为
这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为
.
matlab仿真图命令如下
t=(0:
0.1:
100);
x=0.01*(100+t)+90000./((100+t).^2);
plot(t,x)
(注:
此处也可让计算机求解,过程如下,所得结果与上图完全重合)
k=dsolve('
Dx+2*x/(100+t)=0.03'
'
x(0)=10'
t'
);
k=100000/(100+t)^2+300/(100+t)^2*t+3/(100+t)^2*t^2+1/100/(100+t)^2*t^3)
k=100000./(100+t).^2+300./(100+t).^2.*t+3./(100+t).^2.*t.^2
+1./100./(100+t).^2.*t.^3;
plot(t,k)
下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:
时刻容器内溶液的质量浓度为
且当时,,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.
溶液混合问题的更一般的提法是:
设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液(指同一种类溶液,只是质量浓度不同),假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.
首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为,=0时溶液的体积为,在d时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即
其中是流入溶液的质量浓度,为时刻容器中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型
该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.
问题4服药问题
医生给病人开处方时必须注明两点:
服药剂量与服药间隔时间。
超剂量的药品会对人体产生不良后果甚至死亡而剂量不足则达不到汉病的目的。
已知药品浓度的降低速率与体内当时药品的浓度成正比。
试建立一数学模型,用以确定服药的剂量与时间间隔。
问题分析:
(1)多读几次题就可发现,这是要研究一个日常问题,其问题发生、发展的基本过程是比较清楚的。
(2)问题主要要解决服药剂量与时间间隔的关系,可分别设为与。
(3)那么如何确定与?
有什么东西可以帮我们确定它们?
分析一下服用药物后的情况。
当人服药后,药物会溶解在血液中参加人体的代谢,这里面就有一个浓度问题,返回来再看原问题超剂量指体内浓度过高,会死亡;
浓度过低,剂量不足,无法达到治疗的效果。
设浓度为,,为血液量;
浓度上限,下限。
当时,可达到治疗效果。
浓度在体内随时间在变化,那么它是怎么
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