导数在处理不等式的恒成立问题一轮复习教案Word格式文档下载.docx
- 文档编号:14496680
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:456.69KB
导数在处理不等式的恒成立问题一轮复习教案Word格式文档下载.docx
《导数在处理不等式的恒成立问题一轮复习教案Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《导数在处理不等式的恒成立问题一轮复习教案Word格式文档下载.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。
3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。
4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5.灵活应用导数研究函数的单调性问题
2、知识讲解
1.导数的计算公式和运算法则
几种常见函数的导数:
(为常数);
();
;
;
,;
求导法则:
法则.
法则,
法则:
复合函数的导数:
设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且或
2.求直线斜率的方法(高中范围内三种)
(1)(为倾斜角);
(2),两点;
(3)(在处的切线的斜率);
3.求切线的方程的步骤:
(三步走)
(1)求函数的导函数;
(2)(在处的切线的斜率);
(3)点斜式求切线方程;
4.用导数求函数的单调性:
(2),求单调递增区间;
(3),求单调递减区间;
(4),是极值点。
考点一函数的在区间上的最值
【例题1】:
求曲线在上的最值。
【答案】:
最大值为18,最小值为-2.
【解析】:
∵根据题意,∴,由函数的单调性,当,,取得极大值;
当,,取得极小值;
当,。
所以最大值为18,最小值为-2.
【例题2】:
求曲线在上的最值范围。
【答案】:
由,该函数在上单增,在上单减,当;
。
曲线在上的最值范围为。
考点二用导数研究函数的单调性
【例题3】:
已知函数在上是单调递增函数,求的取值范围。
【解析】:
,因为在上单调递增,所以,,即:
在上恒成立,即:
,所以,所以,。
【例题4】:
设函数.求函数的单调区间;
若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减。
由,得,
若,则当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减。
考点三用导数证明不等式
【例题5】:
设函数,证明:
当时,
如下
【证明】:
当时,当且仅当,令,则当时,在是增函数:
当时,在是减函数,于是在处达到最小值,因而当时,,即所以当时,
【例题6】:
当>0时,>0;
,(仅当时)
故函数在单调递增,当时,,故当。
考点四函数中含参数的问题
【例题7】:
设,其中为正实数,若为上的单调函数,求的取值范围
对求导得①若为R上的单调函数,则在R上不变号,结合①与条件a>
0,知,在R上恒成立,因此由此并结合,知
【例题8】:
已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是
因为,即,所以。
考点五导数的综合问题
【例题9】:
设,讨论函数的单调性.
函数的定义域为,
令,
①当时,,令,解得
则当或时,
则在,上单调递增,
在上单调递减
②当时,,,则在上单调递增
③当时,,令,解得
∵,∴,则当时,
当时,,则在上单调递增,在上单调递减
【例题10】:
设函数,
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求所有实数,使对恒成立.
的增区间为,减区间为
(1)因为,所以
由于,所以的增区间为,减区间为
(Ⅱ)证明:
由题意得,,由(Ⅰ)知内单调递增,
要使恒成立,只要,解得
四、课堂练习
【基础型】
1若不等式x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,则实数a的取值范围
答案:
解析:
记F(x)=x4﹣4x3∵x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,∴F(x)在R上的最小值大于2﹣a
求导:
F′(x)=4x3﹣12x2=4x2(x﹣3),当x∈(﹣∞,3)时,F′(x)<0,故F(x)在(﹣∞,3)上是减函数;
当x∈(3,+∞)时,F′(x)>0,故F(x)在(3,+∞)上是增函数.
∴当x=3时,函数F(x)有极小值,这个极小值即为函数F(x)在R上的最小值
即[F(x)]min=F(3)=﹣27,因此当2﹣a<﹣27,即a>29时,等式x4﹣4x3>2﹣a对任意实数x都成立,故答案为:
(29,+∞)
2若不等式2x-1>
m(x2-1)对满足-2m2的所有m都成立,求x的取值范围。
原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<
0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2m2)
根据题意有:
,即:
解之得x的取值范围为
【巩固型】
1若函数在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
答案D
因为在上递增,恒成立,,,即,所以。
2在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大是。
,
,所以,在上单调增,在单调减,
【提高型】
1设.
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和的值.
(2)m=2,n=3或,
(1)已知,
又在处取极值,
则,又在处取最小值-5.
则,
(2)要使单调递减,则
又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b。
即有:
b-a为区间长度。
又
又b-a为正整数,且m+n<
10,所以m=2,n=3或,符合。
2设,.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)求的取值范围,使得<对任意>0成立.
(1)(3)
(1)由题设知,∴令0得=1,
当∈(0,1)时,<0,是减函数,故(0,1)是的单调减区间。
当∈(1,+∞)时,>0,是增函数,故(1,+∞)是的单调递增区间,
因此,=1是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以的最小值为
(2),设,则,当时,,即,当时,,因此,在内单调递减,
当时,,即
(3)由
(1)知的最小值为1,所以,,对任意,成立
即从而得。
五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点,而且在高考中往往有一定的难度,所以需要学生要准确的理解知识点,灵活并熟练地掌握求导公式,学会建立切线方程,特别是没有给出具体点切线方程的建立。
用点线式求切线方程的步骤:
用导数求函数的单调性:
六、课后作业
1设函数有两个极值点,且
(I)求的取值范围,并讨论的单调性;
(II)证明:
(I),令,其对称轴为。
由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得,⑴当时,在内为增函数;
⑵当时,在内为减函数;
⑶当时,在内为增函数;
(II)由(I),
,设,
则,⑴当时,在单调递增;
⑵当时,,在单调递减。
,故.
2(Ⅰ)设函数,证明:
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:
<<.
(Ⅰ),(仅当时)
故函数在单调递增.当时,,故当>0时,>0.
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取20次,则抽得的20个号码互不相同的概率为,要证<()19<.
即证,所以.即
再证:
,即证,即证,即证
由(Ⅰ),当>0时,>0.令则,即,综上有:
3已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m≤2时,证明f(x)>0.
证明:
当m≤2,时,,故只需证明当m=2时,.
当m=2时,函数在(-2,+∞)单调递增.又f,,
故在(-2,+∞)有唯一实根x0,且.当时,f;
当时,f′,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由得,,
故.综上,当m≤2时,f(x)>0.
4已知函数,若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
(Ⅰ)求,,,的值;
(Ⅱ)若-2时,,求的取值范围.
(1)
(2)[1,e2]
(1)由已知得.而,
故.从而.
(2)由
(1)知,.
则.由题设可得,即.
令得,.
①若,则.从而当时,;
当时,.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).
而.故当时,,即恒成立.
②若,则.从而当x>-2时,,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而,故当时,,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e2,则.从而当时,不可能恒成立.
综上,k的取值范围是[1,e2].
5已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
(1),
(2)
(Ⅰ),由于直线的斜率为,且过点
即解得,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,,h(x)递减。
而故当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<
0,可得h(x)>
从而当x>
0,且x1时,f(x)-(+)>
0,即f(x)>
+.
(ii)设0<
k<
1.由于=的图像开口向下,且,对称轴x=.当x(1,)时,(k-1)(x2+1)+2x>
0,故(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>
0,可得h(x)<
0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时,(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>
0,可得h(x)<
6已知函数
(Ⅰ)证明:
曲线
(Ⅱ)若,求的取值范围。
(Ⅰ),,又
曲线的切线方程是:
,在上式中令,得
所以曲线
(Ⅱ)由得,(i)当时,没有极小值;
(ii)当或时,由得
故。
由题设知,当时,不等式无解;
当时,解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是。
7已知函数.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)证明:
.
.
,,题设等价于.令,则,当,;
当时,,是的最大值点,,综上,的取值范围是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.当时,;
当时,,所以.
8设函数.
当时,;
(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.
(Ⅰ)当时,当且仅当,令,则当时,在是增函数:
(Ⅱ)有题设,此时,当时,若则不成立;
当时,令,则当且仅当
(i)当时,由(Ⅰ)知.在是减函数,,即
(ⅱ)当时,由(ⅰ)知,
.当时,,所以,即,
综上,的取值范围是。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 导数 处理 不等式 成立 问题 一轮 复习 教案