中国古典数学题Word格式文档下载.doc
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如果韩信当时看到的三次列队,最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人,并知道这队士兵约在三四百人之间,你能很快推算出这队士兵的人数吗?
(3)和尚分馒头
我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题:
一百馒头一百僧,
大僧三个更无争,
小僧三人分一个,
大小和尚各几丁?
"
如果译成白话文,其意思是:
有100个和尚分100只馒头,正好分完。
如果大和尚一人分3只,小和尚3人分一只,试问大、小和尚各有几人?
方法一,用方程解:
解:
设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
3x+1/3(100-x)=100
解方程得:
x=25
小和尚:
100-25=75人
方法二,鸡兔同笼法:
(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×
100=300(个).
(2)这样多吃了几个呢?
300-100=200(个).
(3)为什么多吃了200个呢?
这是因为把小和尚当成大和尚。
那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头?
3-1/3=8/3
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有:
200÷
8/3=75(人)
大和尚:
100-75=25(人)
方法三,分组法:
由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100÷
(3+1)=25组,因为每组有1个大和尚,所以有25个大和尚;
又因为每组有3个小和尚,所以有25×
3=75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法,原话是:
置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。
所谓"
实"
便是"
被除数"
,"
法"
除数"
。
列式就是:
100÷
(3+1)=25,100-25=75。
我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。
(4).以碗知僧
有一位妇女在河边洗碗,过路人问她为什么洗这么多碗?
她回答说:
家中来了很多客人,他们每两人合用一只饭碗,每三人合用一只汤碗,每四人合用一只菜碗,共用了碗65只。
你能从她家的用碗情况,算出她家来了多少客人吗?
(5).百钱问题
今有鸡翁一,值钱五;
鸡母一,值钱三;
鸡雏三,值钱一。
凡百钱买鸡百只。
问鸡翁母雏各几何?
相传在南北朝时期(公元
386
年——公元
589
年),我国北方出了一个“神童”,他反映敏捷,计算能力超群,许多连大人一时也难以解答的问题,他一下子就给算出来了。
远远近近的人都喜欢找他计算数学问题。
“神童”的名气越来越大,传到当时宰相的耳中。
有一天,宰相为了弄清“神童”是真是假,特地把“神童”的父亲叫了去,给了他
100
文钱,让第二天带
只鸡来。
并规定
只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有,而且不准多,也不准少,一定要刚好百钱百鸡。
当时,买
1
只公鸡
5
文钱,买
只母鸡
3
只小鸡才
文钱。
怎样才能凑成百钱百鸡呢?
“神童”想了一会,告诉父亲说,只要送
4
只公鸡、
18
只母鸡和
78
只小鸡就行了。
第二天,宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡,大为惊奇。
他想了一下,又给了
文钱,让明天再送
只鸡来,还规定不准只有
只公鸡。
这个问题也没有难住“神童”。
他想了一会,叫父亲送
8
11
81
只小鸡去。
还告诉父亲说,遇到类似问题,只要怎样怎样就行了。
第二天,宰相见到了送来的
只鸡,赞叹不已。
他又给了
文钱,要求下次再送
岂料才一会儿,“神童”的父亲就送来了
只鸡。
宰相一数:
公鸡
12
只、母鸡
只、小鸡
84
只,正好又满足百钱百鸡……。
这个“神童”就是张丘建。
他继续勤奋学习,终于成为一个著名的数学家。
他的名著《张丘建算经》里,最后一个题目就是这个有趣的“百鸡问题”。
“百鸡问题”是一个不定方程问题。
X+y+z=100
设买公鸡、母鸡和小鸡分别为
x
、
y
z
只,依题意可得方程组:
5x+3y+
1/3z=100
另外再设一个整数参数
k
,就有:
x=4k
y=25
-
7k
z=75+3k
因为鸡数
都只能是正数,所以满足这组式子的
值只能是
2
分别用
去替代式子中的
,算出的答案正好与张丘建的一模一样。
在张丘建生活的那个年代,人们还不会列出方程组,那么,他又是怎样算出题目的几个答案的呢?
原来,张丘建发现了一个秘密:
只公鸡值
20
文钱,
只小鸡值
文钱,合起来鸡数是
7
,钱数是
21
;
而
只母鸡呢,鸡数是
,钱数也是
如果少买
只母鸡,就可以用这笔钱多买
只公鸡和
只小鸡。
这样,百鸡仍是百鸡,百钱仍是百钱。
所以,只要只有求出一个答案,根据这种法则,马上就可以求出其它的答案来。
这就是驰名中外的“百鸡术”。
(6).元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目:
九百九十九文钱,及时梨果买一千,
一十一文梨九个,七枚果子四文钱。
梨果多少价几何?
答案:
梨有657个,共803文钱,果有343个,共196文钱。
(7).百羊问题
《算法统宗》里的问题《算法统宗》是中国古代数学著作之一。
书里有这样一题:
甲牵一只肥羊走过来问牧羊人:
“你赶的这群羊大概有100只吧”,牧羊人答:
“如果这群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来这群羊的1/4,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只。
”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只?
(8)李白买酒
我国唐代的天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题:
“李白街上走,提壶去买酒。
遇店加一倍,见花喝一斗(斗是古代酒具,也可作计量单位)。
三遇店和花,喝光壶中酒,原有多少酒?
”
解题方法:
壶中原有酒量是要求的,并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添(乘以2)定量减(减肥斗)而光。
求解这个问题,一般以变化后的结果出发,利用乘与除、加与减的互逆关系,逐步逆推还原。
三遇店和花,喝光壶中酒"
,可见三遇花时壶中有酒巴斗,则三遇店时有酒巴1÷
2斗,那么,二遇花时有酒1÷
2+1斗,二遇店有酒(1÷
2+1)÷
2斗,于是一遇花时有酒(1÷
2+1斗,一遇店时有酒,即壶中原有酒的计算式为
[(1÷
2+1]÷
2=7/8(斗)
故壶中原有7/8斗酒。
以上解法的要点在于逆推还原,这种思路也可用示意图或线段图表示出来。
当然,若用代数方法来解,这题数量关系更明确。
设壶中原有酒x斗,据题意列方程
2[2(2x-1)-1]-1=0
解之,得x=7/8(斗)
(9)浮屠增级
在明朝程大位<
<
算法统宗》中,有这样的一首歌谣,叫做浮屠增级歌。
远看巍巍塔七层红光点点倍加倍
共灯三百八十一请问尖头几盏灯
这首古诗描述的这个宝塔,其古称浮屠。
本题说它一共有七层宝塔,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,问这个塔顶有几盏灯
答曰:
顶层三盏浮屠就是佛塔.本题是说,远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂满了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍,全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯?
首先列出各层灯数的比是1:
2:
4:
8:
16:
32:
64其总和为了+2+4+8+16+31+64=127即把总灯数分成127份,一份的灯数是361/127=3,这就是顶层的灯数.
设一层x
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
127x=381
x=3
8x=24
答:
第四层24红灯
(10)物不知数
我国古代数学名著<
孙子算经>
中有这样一道有关自然数的题,
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?
翻译:
一个数被3除于2,被5除3,被7除2.求这个数.
请你解释一下这个数是几?
的解决方法大体是这样的,
先求被3/2,同时能被5,7都整除的数,最小为140.
在求被5/3,同时能被3,7都整除的数,最小为63.
最后求被7/2,同时能被3,5整除的数,最小为30.
于是数140+63+30=233,就是一个所需求的数,.
它减去或加上3,5,7的最小公倍数的105倍数,比如233-210=23.
233+105=388,......也是符合要求的数,所以符合要求的数有无限个.最小的是23.
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