小学数学小五数学第19讲定义新运算教师版黄庄张志焱仅供参考.docx

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小学数学小五数学第19讲定义新运算教师版黄庄张志焱仅供参考

2021年{某某}小学

小

学

数

学

学

习

资

料

教师：

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日期：

第十九讲定义新运算

一、定义新运算

（1）基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

（2）基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

（3）关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

（4）注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：

＋、－、×、÷等.

如：

2＋3＝52×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二、定义新运算分类

（1）直接运算型

（2）反解未知数型

（3）观察规律型

（4）其他类型综合

（1）正确理解新运算的规律。

（2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。

（3）新运算也要遵守运算规律。

例1.规定a*b=（b＋a）×b，求（2*3）*5。

答案：

100。

解析：

（2*3）*5=　[（3＋2）×3]*5=15*5=（5＋15）×5=100

例2.对于数a，b，c，d，规定〈a，b，c，d〉=2ab-c＋d。

已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。

答案：

6。

解析：

＜1，3，5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x。

例3.如果a△b表示（a-2）×b，例如　　3△4=（3-2）×4=4，　那么当（a△2）△3=12时，a等于几？

答案：

5。

解析：

（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3

　　＝（2a-4-2）×3＝6a-18，

　　由6a-18=12，解得a=5。

例4.

答案：

6。

解析：

x。

5－5。

x＝（3x-2×5）-（3×5-2x）＝5x-25，由5x-25＝5，解得x＝6。

例5.对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”：

a*b＝a（a＋1）（a＋2）…（a＋b-1）。

如果（x*3）*2＝3660，那么x等于几？

答案：

3。

解析：

a*b的含意为，从a开始的b个连续自然数相乘。

由3660＝60×61知，x*3=60。

三个连续自然数的乘积等于60。

只有3×4×5，得到x＝3。

例6.有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。

装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。

这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。

（1）输入9，经过A·B·C·D，输出几？

（2）经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？

　　（3）输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

答案：

（1）9；

（2）66；（3）C·D·A·B。

解析：

（2）{［（100＋4）－5］÷3}×2=66。

A

1.定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:

10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.求12⊙21,5⊙15;

答案：

81,10。

2.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.求1991☉2000,（5☉19）☉19,（19☉5）☉5;

答案：

9,3,1。

3.如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即⑴；⑵。

现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：

。

例：

请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

答案：

不满足。

4.“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：

0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

答案：

254948903981。

5.对于任意的两个自然数和，规定新运算：

，其中、表示自然数.求1100的值；已知1075，求为多少？

答案：

5050；3。

B

6.已知：

10△3=14，8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果△=1，那么=.

答案：

1/8。

7.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。

核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。

如：

某书的书号是ISBN7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

 ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；②207÷11＝18……9；   ③11－9＝2。

这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。

答案：

2。

8.对于任意两个数，定义新运算◆和，规则如下：

◆=，.如：

◆=，.由此计算：

◆

答案：

17/25。

9.对于任意两个数，定义新运算，运算规则如下：

◆=，.按此规则计算：

◆=__________,◆

答案：

5.4;188/165。

10.用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。

例如：

记，请计算的值。

答案：

0.4；0。

C

11.表示成;表示成.试求下列的值:

（1）

（2）（3）;

（4）如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:

.

答案：

7;81;8;略。

12.对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:

x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x（m≠0）,则m的数值是_________。

答案：

-4。

13.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.

（1）已知11☉x=2,而x小于20,求x;

（2）已知（19☉x）☉19=5,而x小于50,求x.

答案：

3,9,13;12，26，33，45。

14.设a,b是两个非零的数,定义a※b.

（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）.

（2）如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.

答案：

407/312,49/600;3。

15.定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:

10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.已知6⊙x=27,求x的值.

答案：

15。

1.定义运算“△”如下：

对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。

例如：

　　4△6=（4，6）＋[4，6]=2＋12=14。

　根据上面定义的运算，18△12等于几？

答案：

42。

2.两个整数a和b，a除以b的余数记为a7b。

例如，135=3。

根据这样定义的运算，（269）4等于几？

答案：

0。

3.规定：

符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，35=3。

请计算下式：

　　[（703）△5]×[5（3△7）]。

答案：

25。

4.规定：

6*2=6＋66=72，　　2*3=2＋22＋222=246，　　1*4=1＋11＋111＋1111=1234。

求7*5。

答案：

86415。

5.如果用φ（a）表示a的所有约数的个数，例如φ（4）=3，那么φ（φ（18））等于几？

答案：

4。

1.如果1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222，3※4＝3＋33＋333＋3333

计算（3※2）×5。

答案：

180。

2.规定新运算※，a※b=3a-2b.若x※（4※1）=7,则x=.

答案：

9。

3.规定△,计算：

（2△1）（11△10）______.

答案：

505。

4.规定:

6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=

答案：

86415。

5.如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：

.请在图2中用粗线画出对应于算式：

的路线．

答案：

如上右图所示。

6.“⊙”表示一种新的运算符号，已知：

2⊙3；7⊙2；3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n____.

答案：

5。

7.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：

羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：

羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：

羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：

羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。

对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：

羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）

答案：

狼。

8.一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，．

；＝．

答案：

501；400。