中国著名大学自主招生试题集锦文档格式.docx
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(5
412,tg2,sin(,),,2(已知sin(,),,,且0,0,,求(,,,,,,,,,,,,1352
223(已知过两抛物线C:
,C:
的交点的各自的切线互1x,1,(y,1)2
(1)41yxa,,,,,
相垂直,求(a
f(x)f(x)f(x),Mt,D4(若存在,使任意(为函数的定义域),都有,则称函数MD
111有界(问函数在上是否有界,f(x),sinx,(0,)xx2
1111,,,?
,,35(求证:
(33323n
6(已知E为棱长为a的正方体ABCD—ABCD的棱AB的中点,求点B到平面AEC的11111
距离(
7(比较与的大小并说明理由(log26log252524
8(已知数列、满足,且,又,,,,,,ba,,a,2bab,6a,6ba,2b,4nn,1nnnn,1nn11
anlim求
(1);
(2)(a,bnnbn
简单解答:
1(,0.6,0.8)一、填空题:
1.2.3.204.,23二、解答题:
5(证明1:
11111,,(,),3(m,1)m(m,1)(m,1)m(m,1)mm,1,m,1m
111m,1,m,1=(,),,2m,1m,1m
m,1,m,1m,1,m,1,,m而22
111,,3m,1m,1m
111111211,,,,?
,,原式<
1+=2,,,,312324n,1n,1nn,1
2n,n,n,n(n,1),(n,1)(n,1)证明2:
11n,n,1,,2nn,1(n,n,1)n,1
1n,n,111,,,
2nnn(n,1)n,1n
111111原式〈1,2(1,,,,?
,,),3,,3223n,1nn
同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共有8题,只要求直接填写结果,每题答对得5分,否则一律得零分,本
大题满分40分)
1(函数fxxx()log(sincos),,的单调递增区间是_______________________(12
vvt,()的2(如图所示,为某质点在20秒内作直线运动时,速度函数
v(cm/s)图象,则该质点运动的总路程s=_____(厘米)(
203(设a与b是两条非相互垂直的异面直线,,与,分别是过直线a与b
15的平面,有以下4个结论:
(1)b//,,
(2)b,,,(3),//,,(4),,,,
10则其中不可能出现的结论的序号为__________(
4(设某地于某日午后2时达到最高水位,为3.20米,下一个最高水位5
恰在12小时后达到,而最低水位为0.20米。
若水位高度h(米)O15t(s)510的变化由正弦或余弦函数给出,则该地水位高度h(米)作为时间
(单位:
时,从该日零时起算)的函数的表达式为t_______________(
357,,,,,5(设,是第二象限角,sin,sin2,,则=_____________________(,,58,,
6(已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i,线段AB上的动点P对应复数Z,若
2复数z对应点Q,点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为________________________(7(设有正数a与b,满足a<
b,若实数x,y,x,y,使x+y是a与b的算术平均数,x?
y11221122
xy11是a与b的几何平均数,则的取值范围是_________________(2()xy,22
8(从0,1,2,…,9这10个数码中随机抽出5个,排列成一行,则恰好构成可以被25整除
的五位数的概率是_______________(用分数给出答案)(
二、解答题(本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤,本大题满分60分)
22fxxxx()421,,,,9((本题满分12分)试利用三角函数求函数的最大值与最小值(
10((本题满分12分)求证:
对于任何实数a与b,三个数:
|a+b|,|a-b|,|1,a|中至少有一个不
1小于(2
211((本题满分12分)设抛物线y=x,(2k,7)x,4k,12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问:
实数k应满足什么条件,
P12((本题满分12分)设四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA?
面ABCD(
(1)求证:
直线PC?
直线BD;
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥
E—BCD的体积取到最大值,求此时四棱锥P—ABCD的高(E
AD
BC
213((本题满分12分)设有抛物线y=2px(p>
0),点B是抛物线的焦点,点C在正x轴上,动点A在抛物线上,试问:
点C在什么范围之内时?
BAC是锐角,
上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题(每小题5分,共50分)
1442xx,,,221(方程的两根满足,则p,_________(p,R)(xpx,,,0xx,121222p
41,88,则x=________________(2(,,,sincos,(0,)xxx1282
11n,120043(已知n,Z,有,则n,______________(,,,
(1)
(1)n2004
4(将3个12cm×
12cm的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分(如左图),将这6部分接
于一个边长为的正六边形上(如下图),若拼接后的图形是一个多62
面体的表面展开图,该多面体的体积为_____________(
5(已知,x、y,R,则(x,y)=_______________(23333,,,xy
222212n,6(=___________(2468
(1)
(2),,,,,,?
n
3327(若z=1,且z,C,则z,2z,2z,20,_____________(
8(一只蚂蚁沿1×
2×
3立方体表面爬,从一对角线一端到另一端最短距离为
_______________(
9(4封不同的信放入4只写好地址的信封中,装错的概率为______,恰好只有一封装错的
概率为_______(
10(已知等差数列{a}中,,=______________(aaaa,,,,44aaa,,n3711195916
二、解答题(第1题8分,第2、3、4题各10分,第5题12分)
32xaxbxc,,,,01(的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,求a,b,c的
值(
2(是否存在三边为连续自然数的三角形,使得
(1)最大角是最小角的两倍;
(2)最大角是最小角的三倍;
若存在,求出该三角形;
若不存在,请说明理由(
2axxb,,83(的最大值为9,最小值为1,求实数a,b(y,2x,1
4(已知月利率为,,采用等额还款方式,则若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m
关于,的函数关系式(假设贷款时间为2年)(
5(对于数列{a}:
1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,即正奇数k有k个,是否存在整数r,s,t,使得对于n
arnst,,,[]任意正整数n都有恒成立([x]表示不超过x的最大整数)(n
2005年复旦大学考试试卷一、填空题:
Cxx1,C2x,,,R|221B1(A=,B=,A=______(表xlogxx,,,,R|10:
B,,,,,,2
示B在R上的补集)(
113002(数x满足,求(x,,,1x,,_______300xx
3(求,=的圆心坐标,53sin5cos,,,,,,,0,2,
22y,x,1AB4(抛物线与直线交于A和B两点,最大时,a=______(y,2x,2ax,a
22lim11nnnn,,,,,5(,________(,,n,,
n(n,1)6(求1+3+6+…,(,______2
7(一个班20个学生,有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到1个女生的概率为
________(
100038(求在十进制中最后4位_____________________(
x,2002,,,,fx,2f,4015,x9(定义在R上的函数f(x)(x,1)满足,则,,x,1,,
f(2004),______(
1,sinxy,10(求的最大值是__________________(2,cosx
二、解答题
22xy,,11(在四分之一个椭圆(x>
o,y>
0)上取一点P,使过P点椭圆的切线与坐标22ab
轴所围成的三角形的面积最小(
AC2(在ΔABC中,tanA:
tanB:
tanC=1:
2:
3,求(AB
3(在正方体ABCD—ABCD中,E、F、G点分别为AD、AA、AB中点,1111111
求:
(1)B到面EFG距离;
(2)二面角G—EF—D平面角,(1
444(在实数范围内求方程:
的实数根(1073,,,,xx
nnsin,,cos,sin,,cos,,a5(已知,,,求关于a的表达式(0,a,2
6(直线l与双曲线xy,1交于P和Q两点,直线l与x轴交于A,与y轴交于B,求证:
AP,BQ(
xn,4121,,,,,,,,7(定义在R上的函数fx,,S,f,f,,fn=2,3,…?
,,,,,nxnnn4,2,,,,,,
111,,,,?
M,n,2
(1)求;
(2)是否存在常数M>
0,,有(SnSSS231n,
2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题(每题5分,共50分)
1(矩形ABCD中,AD=a,AB=b,过A、C作相距为h的平行线AE、AFD
CF,则AF=____(
2(一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正
实数是_________(BCE3(2005~的末尾有连续________个零(
3210x4(展开式中,项的系数为__________(
(2)xx,,
5(在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为
,则塔高为______________(,,,,,,,,,90且,,,:
6(三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;
在一次游戏中,甲获胜的概率为___________(
2yxaxa,,,,,,,log(
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