学年七年级数学北师大版下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导附答案.docx
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学年七年级数学北师大版下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导附答案
2021年度北师大版七年级数学下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导(附答案)
1.平面内6条直线两两相交,但仅有3条通过同一点,则截得不重叠线段共( )
A.24条B.21条C.33条D.36条
2.在同一个平面内,不相邻的两个直角,如果它们有一条边共线,那么另一边互相( )
A.平行B.垂直C.共线D.平行或共线
3.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进,这两次拐弯的角度可能是( )
A.向右拐85°,再向右拐95°
B.向右拐85°,再向左拐85°
C.向右拐85°,再向右拐85°
D.向右拐85°,再向左拐95°
4.如图所示,BE∥DF,DE∥BC,图中相等的角共有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
5.观察下面的图形,并阅读图形下面的相关文字:
像这样,12条直线相交,最多交点的个数是( )
A.50个B.55个C.65个D.66个
6.下列语句中:
①一条直线有且只有一条垂线;②不相等的两个角一定不是对顶角;③两条不相交的直线叫做平行线;④若两个角的一对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角相等;⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线;⑥如果两个角是邻补角,那么这两个角的平分线组成的图形是直角.其中错误的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
7.如图所示,直线AB∥CD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,∠EFG的平分线交直线CD于点H,∠AEF和∠CGF的平分线EM和GM相交于点M,若∠BEF=130°,∠FHG=15°,则∠M的度数为( )
A.65°B.55°C.50°D.45°
8.如图,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F,则∠DFB=( )
A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°
9.如图,AB∥CD,∠CGF=35°,∠AHF=60°,则∠F的度数为 .
10.如图AB∥CD,CE交AB于点A,AD⊥AC于点A,若∠1=48°,则∠2= 度.
11.如图,已知AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,那么图中与∠AGE相等的角有 个.
12.如图,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板如图放置,若∠2=44°,则∠1为 .
13.如图,直线l1∥l2,CD⊥AB于点D,若∠1=50°,则∠BCD的度数为 °.
14.已知角α,β的一边互相平行,另一边互相垂直,且α比β的3倍少30度,则α= .
15.∠A与∠B的两边互相垂直,且
∠A=
∠B,则∠A= .
16.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,D为AB上一点,过点D作DE∥AC,若CD平分∠ADE,则∠BCD的度数为 °.
17.如图,已知AB∥CD∥EF,FC平分∠AFE,∠C=25°,则∠A的度数是 .
18.已知一个角为50°,另一个角的两边分别与该角的两边互相平行,则另一个角的大小为 .
19.如图,直线l1∥l2,∠1=40°,则∠2+∠3= °.
20.如图,CE平分∠ACD,F为CA延长线上一点,FG∥CE交AB于点G,∠ACD=100°,∠AGF=20°,则∠B的度数是 .
21.如图,AB∥CD,AE⊥CE,∠C=44°,则∠1的度数等于 .
22.如图,AB∥CD,BN,DN分别平分∠ABM,∠MDC,试问∠M与∠N之间的数量关系如何?
请说明理由.
23.已知:
如图,点F在AB上,EF交BD于G,交CD于E,∠1=∠2,∠3=∠ABE,∠ADC+∠C=180°.
求证:
AD∥EF.
24.如图,直线EF∥GH,点B、A分别在直线EF、GH上,连接AB,在AB左侧作三角形ABC,其中∠ACB=90°,且∠DAB=∠BAC,直线BD平分∠FBC交直线GH于D.
(1)若点C恰在EF上,如图1,则∠DBA= .
(2)将A点向左移动,其它条件不变,如图2,设∠BAD=α.
①试求∠EBC和∠PBC的大小(用α表示).
②问∠DBA的大小是否发生改变?
若不变,求∠DBA的值;若变化,说明理由.
(3)若将题目条件“∠ACB=90°”,改为:
“∠ACB=β”,其它条件不变,那么∠DBA= .(直接写出结果,不必证明)
25.如图,平面内的直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图a,已知AB∥CD,求证:
∠BPD=∠B+∠D.
(2)如图b,已知AB∥CD,求证:
∠BPD=∠B﹣∠D;
(3)根据图c,试判断∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间的数量关系,并说明理由.
26.如图,DE∥BC,CD平分∠BCA,∠2=30°.
(1)求∠1的度数;
(2)求∠DEA的度数.
27.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.
(1)求证:
BE⊥DE;
(2)H是直线CD上一动点(不与点D重合),BI平分∠HBD交CD于点I,请你画出图形,并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系,且说明理由.
28.如图,E为DF上的点,B为AC上的点,DF∥AC,∠C=∠D,求证:
∠2=∠1.
29.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=3∠BCF,∠ACF=20°.
(1)求∠FEC的度数;
(2)若∠BAC=3∠B,求证:
AB⊥AC;
(3)当∠DAB= 度时,∠BAC=∠AEC.(请直接填出结果,不用证明)
30.已知:
如图1,DE∥AB,DF∥AC.
(1)求证:
∠A=∠EDF.
(2)点G是线段AC上的一点,连接FG,DG.
①若点G是线段AE的中点,请你在图2中补全图形,判断∠AFG,∠EDG,∠DGF之间的数量关系,并证明.
②若点G是线段EC上的一点,请你直接写出∠AFG,∠EDG,∠DGF之间的数量关系.
参考答案
1.解:
AE上共有不重合的线段4条,
AM上共有不重合的线段4条,
BM上共有不重合的线段3条,
CL上共有不重合的线段3条,
DK上共有不重合的线段3条,
EF上共有不重合的线段4条.
共计21条.
故选:
B.
2.解:
如图所示:
不相邻的两个直角,如果它们有一条边共线,内错角相等,或同旁内角互补,那么另一边互相平行或共线.
故选:
D.
3.解:
因为两次拐弯后,按原来的相反方向前进,
所以两次拐弯的方向相同,形成的角是同旁内角,且互补,
故选:
A.
4.解:
∵DE∥BC,
∴∠EBC=∠DEB、∠AED=∠ACB、∠ADE=∠ABC;
∵BE∥DF,
∴∠DFE=∠BEC、∠FDE=∠DEB、∠ADF=∠ABE、∠AFD=∠AEB;
∴∠FDE=∠EBC;
共8对,
故选:
D.
5.解:
∵3条直线相交最多有3个交点,4条直线相交最多有6个交点,5条直线相交最多有10个交点,
而3=
×2×3,6=
×3×4,10=1+2+3+4=
×4×5,
∴n条直线相交最多有1+2+3+…+(n﹣1)=
n(n﹣1)个交点,
∴当n=12时,
n(n﹣1)=
×12×11=66.
故选:
D.
6.解:
①一条直线有无数条垂线,故①错误;
②不相等的两个角一定不是对顶角,故②正确;
③在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线,故③错误;
④若两个角的一对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角相等或互补,故④错误;
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线,故⑤错误;
⑥如果两个角是邻补角,那么这两个角的平分线组成的图形是直角,故⑥正确.
所以错误的有4个.
故选:
C.
7.解:
如图,过F作FP∥AB,过M作MQ∥AB,则PF∥CD,MQ∥CD,
∵∠BEF=130°,∠FHG=15°,
∴∠EFP=50°,∠PFH=15°,
∴∠EFH=65°,
又∵FH平分∠EFG,
∴∠GFH=65°,
∴∠FGH=100°,
∴∠FGC=80°,
又∵∠AEF=180°﹣130°=50°,ME平分∠AEF,MG平分∠FGC,
∴∠AEM=25°,∠CGM=40°,
∴∠EMQ=25°,∠GMQ=40°,
∴∠EMG=65°,
故选:
A.
8.解:
如图,过点E作EG∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥GE,
∴∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠EDC=180°,
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°;
又∵∠BED=61°,
∴∠ABE+∠CDE=299°.
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,
∴∠FBE+∠EDF=
(∠ABE+∠CDE)=149.5°,
∵四边形的BFDE的内角和为360°,
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°.
故选:
B.
9.解:
∵AB∥CD,∠AHF=60°,
∴∠HEG=∠AHF=60°,
∵∠HEF是△EFG的外角,
∴∠F=∠HEG﹣∠CGF=60°﹣35°=25°.
故答案为:
25°.
10.解:
∵AB∥CD,∠1=48°,
∴∠C=∠1=48°,
∵AD⊥AC,
∴∠CAD=90°,
∴∠2=90°﹣∠C=90°﹣48°=42°.
故答案为;42.
11.解:
∵AB∥CD∥EF,
∴∠AGE=∠GAB=∠DCA;
∵BC∥AD,
∴∠GAE=∠GCF;
又∵AC平分∠BAD,
∴∠GAB=∠GAE;
∵∠AGE=∠CGF.
∴∠AGE=∠GAB=∠DCA=∠CGF=∠GAE=∠GCF.
∴图中与∠AGE相等的角有5个.
12.解:
过点B作BD∥a,如图所示:
∵BD∥a,
∴∠2=∠CBD,
又∵∠2=44°,
∴∠CBD=44°,
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ABC=60°,
∴∠DBA=60°﹣44°=16°,
又∵a∥b,
∴BD∥b,
∴∠DBA=∠3,
∴∠3=16°,
又∵∠1=∠3,
∴∠1=16°,
故答案为16°.
13.解:
∵l1∥l2,
∴∠1=∠ABC=50°.
∵CD⊥AB于点D,
∴∠CDB=90°.
∴∠BCD+∠DBC=90°,即∠BCD+50°=90°.
∴∠BCD=40°.
故答案为:
40.
14.解:
如图,当AB∥DE,BC⊥DC时,
过C作CF∥AB,则
,
解得α=60°;
如图,当AB∥DE,BC⊥DC时,
过C作CF∥AB,则
,
解得α=150°;
综上所述,α的度数为60°或150°.
故答案为:
60°或150°.
15.解:
如图,∠A+∠B=360°﹣90°×2=180°,
∵
∠A=
∠B,
∴∠B=
∠A,
∴∠A+
∠A=180°
,
∴∠A=72°,
故答案为:
72°.
16.解:
∵DE∥AC,CD平分∠ADE,
∴∠ACD=∠CDE=∠CDA,
∴AD=AC,
又∵∠A=50°,
∴∠ACD=65°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°﹣65°=25°,
故答案为:
25°.
17.解:
∵CD∥EF,
∠C=∠CFE=25°,
∵FC平分∠AFE,
∴∠AFE=2∠CFE=50°,
又∵AB∥EF,
∴∠A=∠AFE=50°,
故答案为:
50°.
18.解:
∵一个角的两边分别平行另一个角的两边,
∴这两个角相等或互补,
∵一个角为40°,
∴另一个角的度数为50°或130°.
故答案为:
50°或130°.
19.解:
如图,过C作CD∥l1,则CD∥l1∥l2,
∴∠1=∠ACD=40°,∠3+∠BCD=180°,
∴∠3+∠ACB=40°+180°=220°,
故答案为:
220.
20.解:
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=
×∠ACD=
×100°=50°,
∵FG∥CE,
∴∠AFG=∠ACE=50°,
在△AFG中,∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°,
又∵∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣100°=80°,
∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣80°=30°.
故答案为:
30°.
21.解:
如图,过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,
∵∠C=44°,∠AEC为直角,
∴∠FEC=44°,∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°,
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.
故答案为:
134°.
22.解:
数量关系:
∠BMD=2∠BND,
证明:
如图,过点M作直线ME∥AB,过点N作直线NF∥AB,
又∵AB∥CD,
∴ME∥CD,NF∥CD(平行于同一直线的两直线互相平行),
∴∠ABM=∠BME,∠CDM=∠DME(两直线平行,内错角相等),
∴∠BMD=∠BME+∠DME=∠ABM+∠CDM.
同理可得:
∠BND=∠ABN+∠CDN.
∵BN,DN分别平分∠ABM,∠MDC,
∴∠ABM=2∠ABN,∠CDM=2∠CDN(角平分线定义)
∴∠BMD=2∠BND.
23.证明:
∵∠1=∠2,
∴∠ABE=∠DBC,
又∵∠3=∠ABE,
∴∠3=∠DBC,
∴EF∥BC,
∵∠ADC+∠C=180°,
∴AD∥BC,
∴AD∥EF.
24.解:
(1)∵EF∥GH,
∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°,
∵∠DAB=∠BAC,
∴∠BAC=45°,
∴∠ABC=45°,
∵BD平分∠FBC,
∴∠DBC=
×180°=90°,
∴∠DBA=90°﹣45°=45°;
(2)如图,
①∵EF∥GH,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2=α,
∴∠1=∠3=α,
∵∠ACB=90°,
∴∠EBC=90°﹣∠1﹣∠3=90°﹣2α,
∠PBC=
(180°﹣∠EBC)=45°+α;
②设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x,
∵EF∥GH,
∴∠2=∠3,
在△ABC内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x,
∵直线BD平分∠FBC,
∴∠5=
(180°﹣∠4)=
(180°﹣180°+∠ACB+2x)=
∠ACB+x,
∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5,
=180°﹣x﹣(180°﹣∠ACB﹣2x)﹣(
∠ACB+x),
=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣
∠ACB﹣x,=
∠ACB,=
×90°,=45°;
(3)由
(2)可知,
设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x,
∵EF∥GH,
∴∠2=∠3,
在△ABC内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x,
∵直线BD平分∠FBC,
∴∠5=
(180°﹣∠4)=
(180°﹣180°+∠ACB+2x)=
∠ACB+x,
∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5,
=180°﹣x﹣(180°﹣∠ACB﹣2x)﹣(
∠ACB+x),
=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣
∠ACB﹣x,=
∠ACB,
∠ACB=β时,
∠DBA=
β.
25.解:
(1)过点P作PE∥AB,如图1所示.
∵AB∥PE,AB∥CD,(已知)
∴AB∥PE∥CD.(在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠B=∠BPE,∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D.(等量代换)
(2)过点P作PE∥CD,如图2所示.
∵PE∥CD,(辅助线)
∴∠BOD=∠BPE,(两直线平行,同位角相等);∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D,(等量代换)
即∠BPD=∠B﹣∠D.(等量代换)
(3)数量关系:
∠BPD=∠B+∠BQD+∠D.
理由如下:
过点P作PE∥CD,过点B作BF∥PE,如图3所示.
则BF∥PE∥CD,
∴∠FBA+∠BQD=180°,∠FBP+∠BPE=180°,(两直线平行,同旁内角互补)
∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∵∠FBA=∠FBP+∠B,
∴∠BPE=∠BQD+∠B,
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D.(等量代换)
26.解:
(1)∵DE∥BC,
∴∠2=∠BCD=30°,
又∵CD平分∠BCA,
∴∠1=∠BCD=30°;
(2)∵∠AED是△CDE的外角,
∴∠DEA=∠2+∠1=30°+30°=60°.
27.解:
(1)证明:
如图,过点E作EF∥AB
∵AB∥CD,EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠4
∵EF∥AB
∴∠3=∠1
∵AB∥CD
∴∠ABD+∠CDB=180°
∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC
∴∠3=
∠ABD,∠4=
∠CDB
∴∠3+∠4=
∠ABD+
∠CDB=90°
∴∠1+∠2=90°
∴BE⊥DE
(2)∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°﹣2∠EBI.
理由:
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠EBD,
∵BI平分∠HBD,
∴∠HBD=2∠IBD,
如图1,点H在点D的左边时,∠ABH=∠ABD﹣∠HBD,
∠EBI=∠EBD﹣∠IBD,
∴∠ABH=2∠EBI,
∵AB∥CD,
∴∠BHD=∠ABH,
∴∠BHD=2∠EBI;
如图2,点H在点D的右边时,∠ABH=∠ABD+∠HBD,
∠EBI=∠EBD+∠IBD,
∴∠ABH=2∠EBI,
∵AB∥CD,
∴∠BHD=180°﹣∠ABH,
∴∠BHD=180°﹣2∠EBI,
综上所述,∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°﹣2∠EBI.
28.证明:
∵DF∥AC,
∴∠C=∠CEF,
又∵∠C=∠D,
∴∠CEF=∠D,
∴BD∥CE,
∴∠3=∠4,
又∵∠3=∠2,∠4=∠1,
∴∠2=∠1.
29.解:
(1)∵CE平分∠BCF,
∴设∠BCE=∠ECF=
∠BCF=x.
∵∠DAC=3∠BCF,
∴∠DAC=6x.
∵AD∥BC,
∴∠DAC+∠ACB=180°,
∴6x+2x+20°=180°,
∴x=20°,即∠BCE=20°,
∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥BC,
∴∠BCE=∠FEC=20°;
(2)证明:
∵AD∥BC,
∴∠DAB=∠B,
又∵∠BAC=3∠B,
∴∠DAC=4∠B,
由
(1)可得∠BCA=20°×3=60°,
∴∠DAC=4∠B=120°,
∴∠B=30°,
∴∠BAC=30°×3=90°,
∴AB⊥AC.
(3)由
(1)知∠BCE=20°,
∴∠BCF=40°.
∴∠DAC=3×40°=120°,
∵AD∥BC,
∴可设∠BAD=∠B=α,
∴∠AEC=∠B+∠BCE=α+20°,∠BAC=∠DAC﹣∠DAB=120°﹣α,
∴当∠BAC=∠AEC时,α+20°=120°﹣α,
解得α=50°,
∴∠DAB=50°.
故答案为:
50.
30.解:
(1)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠EDF+∠AFD=180°,∠A+∠AFD=180°,
∴∠EDF=∠A;
(2)①∠AFG+∠EDG=∠DGF.
如图2所示,过G作GH∥AB,
∵AB∥DE,
∴GH∥DE,
∴∠AFG=∠FGH,∠EDG=∠DGH,
∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF;
②∠AFG﹣∠EDG=∠DGF.
如图所示,过G作GH∥AB,
∵AB∥DE,
∴GH∥DE,
∴∠AFG=∠FGH,∠EDG=∠DGH,
∴∠AFG﹣∠EDG=∠FGH﹣∠DGH=∠DGF.
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