考研数学一真题.docx
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考研数学一真题.docx
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考研数学一真题
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2004年数学一试题详解和评注
一、填空题〔此题共6小题,每题4分,总分值24分.把答案填在题中横线上〕
〔1〕曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为y=x-1.
【分析】此题为根底题型,相当于切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】由y'=(lnx)'=1=1,得x=1,可见切点为(1,0),于是所求的切线方程为
x
y-0=1⋅(x-1),即y=x-1.
【评注】此题也可先设切点为(x0
lnx0
),曲线y=lnx过此切点的导数为y'
=1
x=x0x0
=1,得x0
=1,
由此可知所求切线方程为y-0=1⋅(x-1),即y=x-1.
此题比拟简单,类似例题在一般教科书上均可找到.
〔2〕f'(ex)=xe-x,且f
(1)=0,那么f(x)=
1(lnx)2.
2
【分析】先求出f'(x)的表达式,再积分即可。
【详解】令ex=t,那么x=lnt,于是有
f'(t)=lnt,即
t
f'(x)=lnx.
x
积分得
f(x)=⎰lnxdx=1(lnx)2+C.利用初始条件f
(1)=0,得C=0,故所求函数为f(x)=1(lnx)2.
x22
【评注】此题属根底题型,导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见?
数学复习指南?
P89第8题,P90第11题.
⎰
〔3〕设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的局部,那么曲线积分
L
xdy-2ydx的值为3π.
2
【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。
【详解】正向圆周x2+y2=2在第一象限中的局部,可表示为
⎧x=
⎩
⎨y=
2cosθ,
2sinθ,
⎰
π
θ:
0→π.
2
于是⎰L
xdy-2ydx=2[
0
2coθs⋅
⎰
π
2coθs+2
3π
2sinθ⋅
2sinθ]dθ
=π+22sin2θdθ=.
02
【评注】此题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见?
数学题型集粹与练习题集?
P143例10.11,?
考研数学大串讲?
P122例5、例7.
2d2ydycc
〔4〕欧拉方程x
+
4x
+2y=0(x>0)的通解为
y=1+2.
dx2dxxx2
【分析】欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换x=et化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】令x=et,那么
dy=dy⋅dt=e-tdy=1dy,
dxdtdxdtxdt
d2y=-1
dy+
1d2y⋅dt=
1d2y
[
-
dy],
dx2
代入原方程,整理得
d2y
x2dtxdt2dx
dy
x2dt2dt
dt2
+3+2y=0,
dt
解此方程,得通解为
y=ce-t+ce-2t=c1+c2.
12xx2
【评注】此题属根底题型,也可直接套用公式,令x=et,那么欧拉方程
2d2y
axdx2
+
bxdy
dx
+
cy=
f(x),
可化为
d2y
a[dt2
-
dydt
]+bdy
dt
+
cy=
f(et).
完全类似的例题见?
数学复习指南?
P171例6.19,?
数学题型集粹与练习题集?
P342第六题.,?
考研数学大串讲?
P75例12.
⎡2
⎢
〔5〕设矩阵A=⎢1
⎢⎣0
10⎤
⎥
20⎥,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,
01⎥⎦
那么B=1.
9
【分析】可先用公式A*A=
AE进行化简
【详解】等式两边同时右乘A,得
ABA*A=2BA*A+A,而A=3,于是有
3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,
再两边取行列式,有
3A-6EB=
A=3,
而3A-6E=27,故所求行列式为B
=1.
9
【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵A*,一般均应先利用公式
A*A=AA*=
AE进行化简。
完全类似例题见?
数学最后冲刺?
P107例2,P118例9
〔6〕设随机变量X服从参数为λ的指数分布,那么P{X>
DX}=1.
e
【分析】连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。
【详解】由题设,知DX=1
λ2
,于是
P{X>
DX}=P{X>1}=⎰+∞λe-λxdx
λ1
λ
=-e-λx
+∞=1.
e
1
λ
【评注】此题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见?
数学一临考演习?
P35第5题.
二、选择题〔此题共8小题,每题4分,总分值32分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内〕
+x2
x2x3
〔7〕把x→0
时的无穷小量α=⎰0cost
dt,β=⎰0tantdt,γ=⎰0sint
dt,使排在后面的是前一个
的高阶无穷小,那么正确的排列次序是
(A)
α,β,γ.(B)
α,γ,β.(C)
β,α,γ.(D)
β,γ,α.[B]
【分析】先两两进行比拟,再排出次序即可.
⎰
x2
【详解】
limβ
=lim⎰0
tantdt
=lim
tanx⋅2x
=0,可排除(C),(D)选项,
x→0+α
x→0+
xcots2dt
0
x→0+
cosx2
31
γ⎰xsint3dt
sinx2⋅
又lim
=lim0
=lim2x
⎰
x→0+β
x→0+
x2
tan
0
tdt
x→0+
2xtanx
=1limx=∞,可见γ是比β低阶的无穷小量,故应选(B).
4x→0+x2
【评注】此题是无穷小量的比拟问题,也可先将α,β,γ分别与xn进行比拟,再确定相互的上下次序.完全类似例题见?
数学一临考演习?
P28第9题.
〔8〕设函数f(x)连续,且f'(0)>0,那么存在δ>0,使得
(A)f(x)在〔0,δ)内单调增加.〔B〕f(x)在(-δ,0)内单调减少.
(C)对任意的
x∈(0,δ)
有f(x)>f(0).(D)对任意的
x∈(-δ,0)
有f(x)>f(0).
[C]
【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导
数的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】由导数的定义,知
f'(0)=limf(x)-f(0)>0,
x→0x
根据保号性,知存在δ>0,当x∈(-δ,0)(0,δ)时,有
f(x)-f(0)>0
x
即当x∈(-δ,0)时,f(x)
【评注】题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。
完全类似例题见?
数学一临考演习?
P28第10题.
∞
〔9〕设∑an为正项级数,以下结论中正确的选项是
n=1
(A)
∞
假设limnan=0,那么级数∑an收敛.
n→∞
n=1
∞
〔B〕假设存在非零常数λ,使得limnan=λ,那么级数∑an发散.
n→∞
n=1
(C)
∞
假设级数∑a收敛,那么limn2a
=0.
n
n=1
n→∞n
(D)
∞
假设级数∑an发散,那么存在非零常数λ,使得limnan=λ.[B]
n=1
n→∞
【分析】对于敛散性的判定问题,假设不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.
【详解】取a
=1,那么limna
=0,但∑
a=∑
1
∞
发散,排除(A),(D);
nnlnn
n→∞n
n
∞
n=1
n=1
nlnn
又取a
1∞
=∑
n
,那么级数
a收敛,但limn2a
=∞,排除(C),故应选(B).
n
n
nn=1
n→∞n
∞
∞
a
1
【评注】此题也可用比拟判别法的极限形式,
n
limnan
=lim
=λ≠0
,而级数∑发散,因此级数∑
an也发散,故应选(B).
n→∞
n→∞1
n
n=1n
n=1
完全类似的例题见?
数学复习指南?
P213例8.13.
1
y
〔10〕设f(x)为连续函数,F(t)=⎰tdy⎰tf(x)dx,那么F'
(2)等于
(A)2f
(2).(B)f
(2).(C)–f
(2).(D)0.[B]
【分析】先求导,再代入t=2求F'
(2)即可。
关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变
量t.
【详解】交换积分次序,得
tt
txt
F(t)=⎰1dy⎰yf(x)dx=⎰1[⎰1
f(x)dy]dx=⎰1
f(x)(x-1)dx
于是,F'(t)=
f(t)(t-1),从而有
F'
(2)=
f
(2),故应选(B).
【评注】在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x:
⎰
[b(x)f(t)dt]'=f[b(x)]b'(x)-f[a(x)]a'(x)
a(x)
否那么,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。
完全类似例题见?
数学最后冲刺?
P184例12,先交换积分次序再求导.
〔11〕设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,那么满足AQ=C
的可逆矩阵Q为
(A)
⎡01
1
⎢
⎢0
⎢⎣10
0⎤
⎥
0⎥.(B)
1⎥⎦
⎡01
1
⎢
⎢0
⎢⎣
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