现代控制理论课后习题答案.doc

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第一章控制系统的状态空间表达式

1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式

解：

系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令，则

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1-2有电路如图1-28所示。

以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：

由图，令，输出量

有电路原理可知：

既得

写成矢量矩阵形式为：

1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.

K1

K2

B2

f1（t）

M1

M2

B1

\y2

c2

y1

c1

f2（t）

解:

以弹簧的伸长度y1，y2质量块M1，M2的速率c1，c2作为状态变量

即x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2

根据牛顿定律，对M1有：

M1=f1-k1（y1-y2）-B1（c1-c2）

对M2有：

M2=f2+k1（y1-y2）+B1（c1-c2）-k2y2-B2c2

将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子，得M1=f1-k1（x1-x2）-B1（x3-x4）

M2=f2+k1（x1-x2）+B1（x3-x4）-k2x2-B2x4

整理得=x3

=x4

=f1-x1+x2-x3+x4

=f2+x1-x2+x3-x4

输出状态空间表达式为y1=c1=x3

y2=c2=x4

1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：

系统的状态空间表达式如下所示：

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。

（1）解:

由微分方程得：

系统的传递函数为W（s）=

则状态空间表达式为：

相应的模拟结构图如下：

x1

X2

U

7

2

5

1

3

y

（2）解：

由微分方程得：

系统的传递函数为W（s）=

则状态空间表达式为：

相应的模拟结构图如下：

1-6已知系统传递函数

（1）

（2）,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

解：

（1）由可得到系统表达式为

X1

X2

X3

（2）

y

X1

X2

X3

X4

u

1-7给定下列状态空间表达式

（1）画出其模拟结构图

（2）求系统的传递函数

解：

（2）

1-8求下列矩阵的特征矢量：

（1）A=

解：

A的特征方程：

===0

解之得：

=-2+j，=-2-j;

当=-2+j时，=（-2+j）

解得：

=-j,令=1，得=；

当=-2-j时，=（-2-j）

解得：

=-j,令=1，得=

（2）A=

解：

A的特征方程：

===0

解之得：

=-2，=-3;

当=-2时，=-2

解得：

=-2,令=1，得=；

当=-3时，=-3

解得：

=-3,令=1，得=

（3）

解：

A的特征方程

解之得：

当时，

解得：

令得

（或令，得）

当时，

解得：

令得

（或令，得）

当时，

解得：

令得

（4）

解：

A的特征方程

解之得：

当时，

解得：

令得

当时，

解得：

令得

当时，

解得：

令得

1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。

（1）=+uy=x

解：

A的特征方程==0

解得=-1或=-3

当=-1时，=-

解之得P11=P21,令P11=1，得P1=

当=-3时=-3

解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=

故T=,=,

则=,=,CT=,

故约旦标准型为=Z，y=Z

（2）=+u

=

解：

A的特征方程===0

解得=3，=1

当=3时特征向量：

=3

解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=

当2=3时的广义特征向量，=3+

解之得P12=P22+1，P22=P32，令P12=1，得P2=

当=1时=

解之得P13=0，P23=2P33，令P33=1，的P3=

故T=，=

AT=B=CT=

故约旦标准型为=X+u

Y=X

1—10.已知两子系统的传递函数阵和分别为：

=

=

试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。

解：

两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W（s）=,得

W（s）==

两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W（s）=+,得

W（s）=+=

串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。

并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。

1-11已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数阵。

解：

1-12已知差分方程为：

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为

解：

由差分方程得传递函数

化为并联型：

化为能控标准型：

第二章控制系统状态空间表达式的解

2-1试证明同维方阵A和B，当AB=BA时，=，而当ABBA时，。

证明：

由矩阵指数函数=

可得：

=

=

=

=

将以上两个式子相减，得：

-=

显然，只有当时，才有-=0，即=；

否则。

2-2试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式（2.17），

式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。

证明：

（1）式（2.17）

由矩阵指数函数=

可得：

=

==

即得证。

（2）式（2.18）

由矩阵指数函数=

可知，若存在非奇异变换阵，使得，则，且是特征根

可知

==

即得证。

（3）式（2.19）

若为约旦矩阵，==

由矩阵指数函数=

=，

则=，=，

，

将以上所求得的、、、代入式，令=，则

第块的状态转移矩阵：

=

==，

即得证。

（4）式（2.20）

拉式反变换法证明：

由，得：

，

=

则状态转移矩阵为：

=

由欧拉公式得：

=

即得证。

2-3已知矩阵A=

试用拉氏反变换法求。

（与例2-3、例2-7的结果验证）

解：

由=

转化成部分分式为：

=

又由拉氏反变换得：

=

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（1）A=

（2）A=

解：

（1）方法一：

约旦标准型

由A=，令=0，

即，得，解得=，

由可得

①当时，设=

由，得，解得即

②当时，设=

由，得，解得即

变换矩阵,

则，矩阵指数函数==

=

方法二定义法

由已知

得

方法三：

凯莱-哈密顿定理

由A=，令=0，

即，得，解得：

特征根=，

则===

则，矩阵指数函数

=+

=

（2）方法一：

约旦标准型

由A=，令=0，

即，得，解得=，

由可得

①当时，设=

由，得，解得即

②当时，设=

由，得，解得即

变换矩阵,

则，矩阵指数函数==

=

方法二：

拉式反变换法

由=，得：

==

则，矩阵指数函数=

方法三：

凯莱-哈密顿定理

由A=，令=0，

即，得，解得=，

则===

则，矩阵指数函数

=+

=

2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

（1）=

（2）=

（3）=

（4）

解：

（1）因为

，

所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件

（2）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

则

（3）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

则

（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

则

2-6求下列状态空间表达式的解：

=

初始状态，输出是单位阶跃函数。

解：

系统矩阵:

特征多项式为:

因为，

所以

2-7试证明本章2.3节，在特定控制作用下，状态方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。

证明：

（1）采用类似标量微分方程求解的方法，则有：

等式两边同乘，得：

即

对上式在[,t]上积分，有：

整理后可得式：

（2）脉冲响应：

=K，时，

由状态方程解为：

把带入，有

带入，有

（考虑到函数的特点）

（3）阶跃响应：

由状态方程解为：

把带入，有

，积分，由上式得:

=

=

=

（4）斜坡响应：

由状态方程解为：

把，代入，有

=

=

=

=

2-8计算下列线性时变系统的状态转移矩阵和。

=

=

解：

由题意知：

==

=

==

即：

和是可以交换的

由：

得：

==+++

=

由状态转移矩阵的基本性质：

=，得：

==

而==

=

==

即：

和是可以交换的

由：

得：

==

=+++

=

由题意知：

==

=

==

即：

和是可以交换的

由：

得：

==+++

=

由状态转移矩阵的基本性质：

=，得：

==

而==

=

==

即：

和是可以交换的

由：

得：

==

=+++

=

2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。

设采样周期分别为=0.1s和1s,而和为分段常数。

解：

图2.2系统结构图

解：

将此图化成模拟结构图

列写状态方程为：

可表示为：

则离散化的时间状态空间表达式为：

由和得：

系统的个矩阵为：

当T=0.1s时，有

当T=1s时，有

2-10有离散时间系统如下，求

=

，

输入