一次函数与几何图形综合专题讲座Word格式.doc
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当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2y1与y2相交;
②y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③y1与y2平行;
④y1与y2重合.
例题精讲:
1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点,C在y轴的负半轴上,且OC=OB
(1)求AC的解析式;
x
y
o
B
A
C
P
Q
(2)在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系,并证明你的结论。
(3)在
(2)的前提下,作PM⊥AC于M,BP交AC于N,下面两个结论:
①(MQ+AC)/PM的值不变;
②(MQ-AC)/PM的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。
M
2.(本题满分12分)如图①所示,直线L:
与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。
(1)当OA=OB时,试确定直线L的解析式;
第2题图②
第2题图①
(2)在
(1)的条件下,如图②所示,设Q为AB延长线上一点,作直线OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=4,BN=3,求MN的长。
(3)当取不同的值时,点B在轴正半轴上运动,分别以OB、AB为边,点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交轴于P点,如图③。
问:
当点B在y轴正半轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值,若是,请求出其值,若不是,说明理由。
第2题图③
考点:
一次函数综合题;
直角三角形全等的判定.
专题:
代数几何综合题.
分析:
(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;
(2)由OA=OB得到启发,证明∴△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度;
(3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求PB的长.
解答:
解:
(1)∵直线L:
y=mx+5m,
∴A(-5,0),B(0,5m),
由OA=OB得5m=5,m=1,
∴直线解析式为:
y=x+5.
(2)在△AMO和△OBN中OA=OB,∠OAM=∠BON,∠AMO=∠BNO,
∴△AMO≌△ONB.
∴AM=ON=4,
∴BN=OM=3.
(3)如图,作EK⊥y轴于K点.
先证△ABO≌△BEK,
∴OA=BK,EK=OB.
再证△PBF≌△PKE,
∴PK=PB.
∴PB=BK=OA=.
点评:
本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
3、如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线与直线关于x轴对称,已知直线的解析式为,
(1)求直线的解析式;
(3分)
(2)过A点在△ABC的外部作一条直线,过点B作BE⊥于E,过点C
作CF⊥于F分别,请画出图形并求证:
BE+CF=EF
(3)△ABC沿y轴向下平移,AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q,与y轴相交与点M,且BP=CQ,在△ABC平移的过程中,①OM为定值;
②MC为定值。
在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。
(6分)
轴对称的性质;
全等三角形的判定与性质.
(1)根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标,再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标,用待定系数法求直线l2的解析式;
(2)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AFC,再根据全等三角形的性质,结合图形证明BE+CF=EF;
(3)首先过Q点作QH⊥y轴于H,证明△QCH≌△PBO,然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM,从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算OM的值.
(1)∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴A(-3,0),B(0,3),
∵直线l2与直线l1关于x轴对称,
∴C(0,-3)
∴直线l2的解析式为:
y=-x-3;
(2)如图1.
答:
BE+CF=EF.
∴AB=BC,∠EBA=∠FAC,
∵BE⊥l3,CF⊥l3
∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE=AF,EA=FC,
∴BE+CF=AF+EA=EF;
(3)①对,OM=3
过Q点作QH⊥y轴于H,直线l2与直线l1关于x轴对称
∵∠POB=∠QHC=90°
,BP=CQ,
又AB=AC,
∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ,
则△QCH≌△PBO(AAS),
∴QH=PO=OB=CH
∴△QHM≌△POM
∴HM=OM
∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM
∴OM=BC=3.
轴对称的性质:
对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.
4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且a、b满足.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点M为直线y=mx上一点,且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形,求m值;
(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P,N点的横坐标为-1,过N点的直线交AP于点M,试证明的值为定值.
二次根式的性质与化简;
一次函数图象上点的坐标特征;
待定系数法求正比例函数解析式;
全等三角形的判定与性质;
等腰直角三角形.
计算题.
(1)求出a、b的值得到A、B的坐标,设直线AB的解析式是y=kx+b,代入得到方程组,求出即可;
(2)当BM⊥BA,且BM=BA时,过M作MN⊥Y轴于N,证△BMN≌△ABO(AAS),求出M的坐标即可;
②当AM⊥BA,且AM=BA时,过M作MN⊥X轴于N,同法求出M的坐标;
③当AM⊥BM,且AM=BM时,过M作MN⊥X轴于N,MH⊥Y轴于H,证△BHM≌△AMN,求出M的坐标即可.
(3)设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,求出H、G的坐标,证△AMG≌△ADH,△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案.
(1)要使b=有意义,
必须(a-2)2=0,=0,
∴a=2,b=4,
∴A(2,0),B(0,4),
设直线AB的解析式是y=kx+b,
代入得:
0=2k+b,4=b,
解得:
k=-2,b=4,
∴函数解析式为:
y=-2x+4,
直线AB的解析式是y=-2x+4.
(2)如图2,分三种情况:
①如图
(1)当BM⊥BA,且BM=BA时,过M作MN⊥Y轴于N,
△BMN≌△ABO(AAS),
MN=OB=4,BN=OA=2,
∴ON=2+4=6,
∴M的坐标为(4,6
),
代入y=mx得:
m=,
②如图
(2)当AM⊥BA,且AM=BA时,过M作MN⊥X轴于N,△BOA≌△ANM(AAS),同理求出M的坐标为(6,2),m=,
③当AM⊥BM,且AM=BM时,过M作MN⊥X轴于N,MH⊥Y轴于H,则△BHM≌△AMN,
∴MN=MH,
设M(x,x)代入y=mx得:
x=mx,
(2)
∴m=1,
m的值是或或1.
(3)解:
如图3,结论2是正确的且定值为2,
设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,
由y=x-与x轴交于H点,
∴H(1,0),
由y=x-与y=kx-2k交于M点,
∴M(3,K),
而A(2,0),
∴A为HG的中点,
∴△AMG≌△ADH(ASA),
又因为N点的横坐标为-1,且在y=x-上,
∴可得N
的纵坐标为-K,同理P的纵坐标为-2K,
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称,
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,
∴PN=PD=AD=AM,
∴=2.
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法求正比例函数的解析式,全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
5.如图,直线AB:
y=-x-b分别与x、y轴交于A(6,0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:
OC=3:
1。
(1)求直线BC的解析式:
(2)直线EF:
y=kx-k(k≠0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的直线EF,使得S△EBD=S△FBD?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由?
(3)如图,P为A点右侧x轴上的一动点,以P为直角顶点,BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ,连接QA并延长交y轴于点K,当P点运动时,K点的位置是否发现变化?
若不变,请求出它的坐标;
如果变化,请说明理由。
一次函数的定义;
正比例函数的图象;
待定系数法求一次函数解析式.
代入点的坐标求出解析式y=3x+6,利用坐标相等求出k的值,用三角形全等的相等关系求出点的坐标.
(1)由已知:
0=-6-b,
∴b=-6,
∴AB:
y=-x+6.
∴B(0,6)
∴OB=6
∵OB:
1,
OC==2,
∴C(-2,0)
设BC的解析式是Y=ax+c,代入得;
6=0•a+c,0=-2a+c,
a=3,c=6,
∴BC:
y=3x+6.
直线BC的解析式是:
y=3x+6;
(2)过E、F分别作EM⊥x轴,FN⊥x轴,则∠EMD=∠FND=90°
.
∵S△EBD=S△FBD,
∴DE=DF.
又∵∠NDF=∠EDM,
∴△NFD≌△EDM,
∴FN=ME.
联立y=kx-k,y=-x+6
得yE=,
联立y=kx-k,y=3x+6
得yF=.
∵FN=-yF,ME=yE,
∴=.
∵k≠0,
∴5(k-3)=-9(k+1),
∴k=;
(3)不变化K(0,-6).
过Q作QH⊥x轴于H,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=90°
,PB=P
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