一元二次方程的知识点梳理文档格式.doc
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例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。
针对练习:
1、方程的一次项系数是,常数项是。
2、若方程是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值;
⑵写出关于x的一元一次方程。
3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。
4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
例1、已知的值为2,则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程
必有一根为。
例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,
则m的值为。
1、已知方程的一根是2,则k为,另一根是。
2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值;
⑵方程的另一个解。
3、已知m是方程的一个根,则代数式。
4、已知是的根,则。
5、方程的一个根为()
AB1CD
6、若。
考点三、解法
⑴方法:
①直接开方法;
②因式分解法;
③配方法;
④公式法
⑵关键点:
降次
类型一、直接开方法:
对于,等形式均适用直接开方法
例1、解方程:
=0;
例2、若,则x的值为。
下列方程无解的是()
A.B.C.D.
类型二、因式分解法:
方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
方程形式:
如,,
例1、的根为()
ABCD
例2、若,则4x+y的值为。
变式1:
。
变式2:
若,则x+y的值为。
变式3:
若,,则x+y的值为。
例3、方程的解为()
A.B.C.D.
1、下列说法中:
①方程的二根为,,则
②.
③
④
⑤方程可变形为
正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、以与为根的一元二次方程是()
A.B.
C. D.
3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数:
4、若实数x、y满足,则x+y的值为()
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
5、方程:
的解是。
类型三、配方法
在解方程中,多不用配方法;
但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。
例3、已知为实数,求的值。
1、试用配方法说明的值恒小于0。
2、已知,则.
3、若,则t的最大值为,最小值为。
类型四、公式法
⑴条件:
⑵公式:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴⑵⑶
⑷⑸
例2、在实数范围内分解因式:
(1);
(2).⑶
说明:
①对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,
一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成
=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值;
⑵解二元二次方程组。
例1、已知,求代数式的值。
例2、已知是一元二次方程的一根,求的值。
例3、用两种不同的方法解方程组
解二元二次方程组的具体思维方法有两种:
①先消元,再降次;
②先降次,再
消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用:
①定根的个数;
②求待定系数的值;
③应用于其它。
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。
例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是()
A.B.C.D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.
例5、为何值时,方程组有两个不同的实数解?
有两个相同的实数解?
1、当k时,关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时,多项式是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是.
4、为何值时,方程组
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
5、当取何值时,方程的根与均为有理数?
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根,则m为,
⑵只有一个根,则m为。
例2、不解方程,判断关于x的方程根的情况。
考点六、根与系数的关系
⑴前提:
对于而言,当满足①、②时,
才能用韦达定理。
⑵主要内容:
⑶应用:
整体代入求值。
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三
角形的斜边是()
A.B.3C.6D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;
若不
存在,请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错
常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。
你知道
原来的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
例4、已知,,,求
若,,则的值为。
例5、已知是方程的两个根,那么.
1、解方程组
2.已知,,求的值。
3、已知是方程的两实数根,求的值。
今天你学习了什么?
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遇到了什么困难?
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