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2.求对称轴时,直接令=,解出的x即为对称轴方程;
同样,求对称中心时,直接令=,解出的x即为对称中心的横坐标,而纵坐标为0.把结果写成坐标的形式即可。
注意:
对称中心是点,一定要写成坐标的形式。
1.函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴的方程是( )
A.x=﹣B.x=﹣C.x=D.x=
2.(2007•福建)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点(,0)对称B.关于直线x=对称
C.关于点(,0)对称D.关于直线x=对称
3.函数的图象( )
A.关于原点对称B.关于直线对称C.关于y轴对称D.关于直线对称
4.的图象是( )
A.关于原点成中心对称的图形B.关于y轴成轴对称的图形
C.关于点成中心对称的图形D.关于直线成轴对称的图形
5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.B.C.D.
类型三.求函数的单调区间
求的单调增区间和减区间
求的单调区间步骤如下:
1.前提一定要熟记的单调增区间为,单调增区间为(注意:
对称轴的,单调区间的是2,要记清)
2.求单调增区间时,先检查是否为正,若为正,则直接令;
若为负,把化成正的,解出的x的范围写成区间即可。
如:
求的增区间时,规范解答如下:
要求函数的增区间,即求的减区间:
1.(2010•重庆)下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )
2.(2008•湖南)函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
3.(2010•重庆)下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )
A.B.C.D.
类型四.求类函数的值域。
求函数,的值域。
,由y=2sinZ的图象可知:
当Z=时函数有最大值2,
当Z=时,函数有最小值2sin=
所以,值域为[,2]
方法归纳:
求在指定区间的值域问题时,常用换元法,把原函数的值哉转化为y=AsinZ这种容易画图象的函数的值域。
要注意的是,换元后一定要记得明确Z的具体范围。
类型五.求y=Asin2x+Bcos2x+Csinx+D类函数的值域问题
求函数
形如y=Asin2x+Bcos2x+Csinx+D类函数的值域问题,主要利用平方和关系,把函数化为只含有一种三角函数名称的函数,再用换元法化为二次函数的值域问题,利用函数图象观察得最值。
此种类型题同样要注意用换元法换元后一定要明确新的未知元的范围。
类型六.用“五点法”画函数图像。
参照课本P53页的例1
利用“五点法”画形如的图像时,步骤是:
首先令,然后求得各个x所对应的值,再把对应的函数值写出来列成表格(这样就有了5个关键的特征点,即3个平衡点,1个最高点,1个最低点);
最后描点连线。
类型七.已知部分函数图象,求函数表达式
已知函数求f(x)解析式
由图可知A=2,
已知部分函数图象,求函数表达式这种类型题的解法步骤如下:
1.先观察图象的最大值和最小值,如果互为相反数,则取最大值作为A,
2.观察图形中,有“五点(即3个平衡点,1个最高点,1个最低点)”中的哪几个点,找到两个已知横坐标的点,观察这两个点间点了整个周期的几分之几,列出等式即可求出。
如图中的两点间的图象刚好占了一个周期的。
3.观察第二步的其中一个点,观察它是“五点”中的第几个点(第一个点是上升阶段的平衡点,第二个点为最高点,第三个点是下降阶段的平衡点,第四个点是最低点,第五个点是上升阶段的平衡点)。
若是第一个点,则把该点的横坐标代入=0,若是第二个点,则把该点的横坐标代入=;
若是第三个点,则把该点的横坐标代入=,若是第四个点,则把该点的横坐标代入=,这样就可以把求出。
如例题中的在图象中是最高点,也就是第二个点,所以把代入,等号右边=。
1.(2011•辽宁)已知函数,y=f(x)的部分图象如图,则=( )
2.(2009•江西)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f()=﹣,则f(0)=( )
A.﹣B.﹣C.D.
3.(2008•海南)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0))在区间[0,2π]的图象如下:
那么ω=( )
A.1B.2C.D.
4.(2005•天津)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为( )
A.B.
C.D.
5.(2004•辽宁)若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如下图所示,则ω和φ的取值是( )
A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=﹣C.ω=,φ=D.ω=,φ=﹣
7.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3C.6D.9
8.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
9.将函数y=sinωx(ω>0)的图象按向量平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
10.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则( )
A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减
C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增
11.已知如图是函数y=2sin(ωx+ψ)(|ψ|<)的图象,那么( )
A.w=,ψ=B.w=,ψ=﹣
C.w=,ψ=D.w=2,ψ=﹣
12.(2010•重庆)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=﹣C.ω=2,φ=D.ω=2,φ=﹣
13.(2007•广东)已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6,φ=B.T=6,φ=C.T=6π,φ=D.T=6π,φ=
14.(2005•福建)函数y=sin(ωx+)的部分图象如右图,则ω,可以取的一组值是( )
类型八。
函数图像的变换
函数y=sinx经过怎样的变换能得到函数?
解法1:
函数y=sinx向左平移个单位得到y=sin(x+),再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍得到,再把该函数图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍得到。
解法2:
函数y=sinx纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍得到,再向左平移个单位得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+),再把该函数图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍得到。
记住口诀“左加右减”是对x而言,“上加下减”是对整个函数而言。
平移的单位一定要注意,先要把x前面的系数提出来,看看一个x是加了多少。
如:
y=sin2x向左平移个单位后得到的是y=sin[2(x+)],而不是y=sin(2x+)。
1.(2010•四川)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin(2x﹣)B.y=sin(2x﹣)C.y=sin(x﹣)D.y=sin(x﹣)
2.(2009•山东)将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )
A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.D.y=cos2x
3.(2006•江苏)为了得到函数,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变)B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
4.为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位
5.(2009•天津)已知函数的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosϖx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
6.(2012•诸城市)为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )
7.(2010•辽宁)设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( C )
A.B.C.D.3
8.(2010•福建)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( B )
A.4B.6C.8D.12
拓展延伸:
一、平移与周期性,与,有关。
1.(2010•福建)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( )
2.(2010•辽宁)设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )
二、奇偶性与三角函数(与有关)
判断
判断函数的奇偶性与有关,
已知向左平移(>
0)后为奇函数,求的最小值。
向左平移后的解析式为,因为是奇函数,所以有g(0)=0,即变式:
若改为偶函数。
解答后面就应该有:
1.(2004•辽宁)已知函数f(x)=sin(πx﹣)﹣1,则下列命题正确的是( )
A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
2.(2011•宜阳县)函数的最小正周期为π,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象( )
A.关于点对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于直线对称
单调性与三角函数。
(与有关)
1.(2011•山东)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=( )
A.B.C.2D.3
2.(2011•安徽)已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),其中ϕ为实数,若对x∈R恒成立,且,则f(x)的单调递增区间是( )
3.(2006•福建)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是﹣2,则ω的最小值等于( )
4.(2008•辽宁)已
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