强化班解析几何专题复习.docx
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强化班解析几何专题复习
强化班教案
第一讲 直线和圆的位置关系
题型一 直线和圆的位置关系的判断问题
例1 已知圆C:
x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交B.l与C相切
C.l与C相离D.以上三个选项均有可能
题型二 弦长问题
例2 若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是__________________.
题型三 直线和圆的综合性问题
例3 如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:
x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当=2时,求直线l的方程;
(3)B·B是否为定值?
如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
总结提高
(1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法:
一是将直线和圆的方程联立,利用判别式的符号求解根的个数,即为直线和圆的交点个数;二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较,当d>r时相离,d=r时相切,d (2)求圆的弦长的方法: 一是直接求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式求得;二是不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为k,联立直线与圆的方程消去y后得到方程两根为x1,x2,则弦长d=|x1-x2|;三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法较为简单. 1.直线(1+3m)x+(3-2m)y+8m-12=0(m∈R)与圆x2+y2-2x-6y+1=0的交点个数为( ) A.1B.2C.0或2D.1或2 2.(2014·浙江)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值为( ) A.-2B.-4C.-6D.-8 3.(2014·北京)已知圆C: (x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( ) A.7B.6C.5D.4 4.(2014·福建)直线l: y=kx+1与圆O: x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 5.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( ) A.2B.2C.D.1 6.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(x-b)2=2相切”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知圆C1: x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2: x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________. 8.已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为________________. 9.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________. 10.(2014·山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________________. 11.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; 12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B. (1)求k的取值范围; (2)是否存在常数k,使得向量+与共线? 如果存在求k的值;如果不存在,请说明理由. 第二讲 与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例1 已知x,y满足x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2的最小值为( ) A.B.C.D. 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2 直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.当|OA|+|OB|最小时,O为坐标原点,求l的方程. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例3 由直线y=x+2上的点P向圆C: (x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当|PT|最小时,点P的坐标是( ) A.(-1,1)B.(0,2)C.(-2,0)D.(1,3) 例4 已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|≥||,那么k的取值范围是( ) A.(,+∞)B.[,+∞)C.[,2)D.[,2) 总结提高 (1)主要类型: ①圆外一点与圆上任一点间距离的最值. ②直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值. ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值. ④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线段长的最小值问题. ⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值. ⑥已知圆上的动点Q(x,y),求与点Q的坐标有关的式子的最值,如求ax+by,等的最值,转化为直线与圆的位置关系. (2)解题思路: ①数形结合法: 一般结合待求距离或式子的几何意义,数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解. ②函数法: 引入变量构建函数,转化为函数的最值求解. (3)注意事项: ①准确理解待求量的几何意义,准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系; ②涉及切线段长的最值时,要注意切线,圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形. 1.若动点A,B分别在直线l1: x+y-7=0和l2: x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( ) A.3B.2C.3D.4 2.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( ) A.B.1C.D. 3.(2014·成都模拟)已知P是直线l: 3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( ) A.B.2C.D.2 4.(2013·江西)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( ) A.B.-C.±D.- 5.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0 6.(2014·雅安模拟)已知Ω=,直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域Ω上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),若P(M)∈,则实数m的取值范围是( ) A.B.C.D.[0,1] 7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________. 8.直线l过点(0,-4),从直线l上的一点P作圆C: x2+y2-2y=0的切线PA,PB(A,B为切点),若四边形PACB面积的最小值为2,则直线l的斜率k为________. 9.若直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积的最小值是________. 10.与直线x-y-4=0和圆A: x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆C的方程是________________________________________________________________________. 11.已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点. (1)求点P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值; (2)求的最大值和最小值. 12.已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切. (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求·的取值范围. 第三讲 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例1 如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求·的最大值和最小值. 题型二 直线与椭圆相交问题 例2 已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,求弦|MN|的长. 题型三 点差法解题,设而不求思想 例3 已知椭圆+y2=1,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程. 题型四 轨迹问题 例4 △ABC的一边的顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程. 总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法: 一是借助图形,由几何图形中量的关系求最值,二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值. (2)直线和椭圆相交问题: ①常用分析一元二次方程解的情况,仅有“Δ”还不够,还要用数形结合思想.②弦的中点、弦长等,利用根与系数关系式,注意验证“Δ”. (3)当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用“点差法”来求解. (4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等,根据条件选择恰当的方法. 1.“2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( ) 3.已知椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( ) 4.(2014·大纲全国)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( ) A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1 5.(2014·福建)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( ) A.5B.+C.7+D.6 6.如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ) A.B.C.D. 7.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左,右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 8.(2014·辽宁)已知椭圆C: +=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________. 9.(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C: +=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________. 10.(2014·安徽)设F1,F2分别是椭圆E: x2+=1(0 11.(2014·课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 12.(2014·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程; (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 第四讲 双曲线的渐近线和离心率 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x 题型二 双曲线的离心率问题 例2 已知O为坐标原点,双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B,若(+)·=0,则双曲线的离心率e为( ) A.2B.3C.D. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3 已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________. 总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a,c的关系,a,c关系的建立方法直接反映了试题的难易程度,最后在求得e之后注意e>1的条件,常用到数形结合. (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y=±x⇔±=0⇔-=0,所以可以把标准方程-=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于==,当e逐渐增大时,的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大. 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)以及双曲线-=1的渐近线将第一象限三等分,则双曲线-=1的离心率为( ) A.2或B.或C.2或D.或 2.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为( ) A.B.C.2D.3 3.(2014·绵阳模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C: x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使=,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(1,+1)B.(1,)C.(,+∞)D.(+1,+∞) 5.(2014·湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.B.C.3D.2 6.(2014·山东)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0 7.若椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围为________. 8.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线的右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________. 9.(2014·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 10.(2013·湖南)设F1,F2是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率为________. 11.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E: -=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值. 12.(2014·江西)如图,已知双曲线C: -y2=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程; (2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: -y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明: 当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值. 第五讲 与抛物线相关的热点问题 题型一 抛物线的定义及其应用 例1 设P是抛物线y2=4x上的一动点, (1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)若B(3,2),抛物线的焦点为F,求|PB|+|PF|的最小值. 题型二 抛物线的标准方程及性质 例2 (1)设M(x0,y0)为抛物线C: x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( ) A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞) (2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽________m. 题型三 直线和抛物线的位置关系 例3 已知抛物线C: y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于? 若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. 总结提高 (1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率为e=1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决. (2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系. (3)抛物线的焦点弦: 设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①y1y2=-p2,x1x2=; ②若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=; ③若F为抛物线焦点,则有+=. 1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( ) A.4B.-2C.4或-4D.12或-2 2.(2014·泸州模拟)若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有( ) A.0个B.1个C.2个D.4个 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( ) A.2±B.2+C.±1D.-1 4.(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C: y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B.C.D. 5.已知抛物线y2=8x的准线为l,点Q在圆C: x2+y2+2x-8y+13=0上,记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d+|PQ|的最小值等于( ) A.3B.2C.4D.5 6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( ) A.B.C.D.2 7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=________. 8.设F为抛物线C: y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于________. 9.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为________. 10.(2013·江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________. 答案 6 11.(2014·大纲全国)已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 12.(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 第六讲 直线与圆锥曲线问题 题型一 直线和椭圆的位置关系 例1 如图所示,椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2: y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E. (1)求C1,C2的方程; (2)求证: MA⊥MB; (3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若=λ,求λ的取值范围. 题型二 直线和双曲线的位置关系 例2 已知双曲线C: x2-y2=1及直线l: y=kx-1. (1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. 题型三 直线和抛物线的位置关系 例3 已知双曲线M: -=1(a>0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=,且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F. (1)求双曲线M和抛物线N的方程; (2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点? 如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由. 1.已知圆C: (x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足=2,·=0,点N的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)若直线y=kx+与 (1)中所求点N的轨迹E交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且≤·≤,求k2的取值范围. 2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (1)求抛物线C的方程; (2)当点P(x0
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