百校联考高三下学期普通高中教育教学质量监测考试全国1卷文科数学试题含答案文档格式.docx
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A.B.C.D.
9.已知,是抛物线上的点,是轴上的点,轴,为等边三角形,则的横坐标为()
A.B.C.3D.
10.已知,,,则()
11.6个大小不相等的数排成3行,第1行1个数,第2行2个数,第3行3个数,设是第行中的最大数,现有下列四个命题:
最大数在第一行的概率为.最大数在最后.
的概率为.的概率.
则下面命题中,假命题为()
12.已知数列满足,,数列的前项和为,.若,则的最小值为______.
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.设,满足约束条件则的最小值为______.
14.已知点,分别为圆锥的顶点和底面圆心,为锥底面的内接正三角形,,则异面直线与所成角的余弦值为______.
15.已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,为双曲线右支上一点,,则双曲线的离心率的取值范围是______.
16.如图,在凸四边形中,,为等边三角形.则当四边形的面积最大时,______.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设等差数列的前项和为,,,数列满足.
(1)若,求的前项和;
(2)若,,成等比数列,求.
18.(本小题满分12分)
如图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,,四边形是菱形,.
(1)证明:
;
(2)若,求点到平面的距离.
19.(本小题满分12分)
中国是世界上沙漠化最严重的国家之一,沙漠化造成生态系统失衡,可耕地面积不断缩小,对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强,西北某地区大力兴建防风林带,引水拉沙,引洪淤地,开展了改造沙漠的巨大工程,该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元,从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元,近4年沙漠治理经费投入(亿元)和沙漠治理面积(万亩)的相关数据如下表所示:
年份
2017
2018
2019
2020
2
3
4
5
26
39
49
54
(1)通过绘制散点图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(结果保留3位小数)
(2)建立关于z的回归方程;
(3)若保持以往的沙漠治理经费增加幅度,请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩.
参考数据:
,;
参考公式:
相关系数,,..
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,过左焦点且与轴垂直的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,为椭圆上两点,为坐标原点,斜率为的直线经过点,若,关于对称,且,求的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)判断函数的单润性,并证明有且仅有一个零点:
(2)若,求的取值范围.
请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑,按所选涂题号进行评分;
多涂、多答,按所涂的首题进行评分;
不涂,按本选考题的首题进行评分.
22.(本小题满分10分)
【选修4—4:
坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,曲线的参数方程(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若,与,有且只有1个公共点,求;
(2)若,曲线,交于,两点,求.
23.(本小题满分10分)[选修4—5:
不等式选讲]
已知,为正数,函数的值域为.
(1)若,证明:
(2)若,证明:
.
全国I卷文科数学参考答案
1.C【解析】由题意可知
,.
2.C【解析】由题意,
则.
3.D【解析】结合统计图可知,3日,4日和7日的增长速度比前一天均下降,A选项不正确;
7天中,2日,5日,6日和7日的增长速度均为正,B选项不正确;
根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正,C选项不正确;
3月5日的订单量约为2.2(万张),则3月6日的订单量约为(万张),D选项正确.
4.C【解析】,
故为奇函数,函数图象关于原点中心对称,排除B选项;
当时,,,,且,
故,排除A,D选项.
5.A【解析】设,,
所以,且,
解得,,即,,
则有.
6.D【解析】因为面积最大的侧面是边长为2的正方形,
所以。
作于,则有平面,的最大值为1,
故的体积的最大值为.
7.D【解析】由题,,
则,所以切线方程为,
即.
8.B【解析】结合的图象,
当时,离坐标原点最近的值为一个,
因为区间关于原点对称,所以的值为
9.B【解析】设,,
因为为等边三角形,所以点为线段的中垂线与抛物线的交点,
即,且,解得,从而.
10.D【解析】因为,则,故,
所以;
因为,
则,故,
11.C【解析】数阵中一共有6个数,最大数在第1行的概率为,命题正确;
最大数在最后一行的概率为,命题不正确;
若,则前2行的3个数中,最大的数在第2行,
所以其概率为,命题不正确;
若,则后2行的5个数中,最大的数在第3行,所以其概率为,命题不正确.
则命题为假命题.
12【解析】由,可得,
由,可得,故.
所以,
所以.
由题意可知,则,故为递增数列.
所以,故,
所以的最小值为1.
13.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,结合图形可知,
当直线过点时,取最小值,.
14.【解析】如图所示,连接,,延长交于,
取中点,连接,.
因为为正三角形,且为的外心,
所以为的中点,故,
则即为异面直线与所成的角.
设,则,.
由题意可知为等边三角形,则,
在中,.
15.【解析】设双曲线的右焦点为,
由双曲线的定义可知,故,
设,则点的横坐标为,
因为点在双曲线上,显然有,即,
所以离心率的取值范围是.
16.【解析】设,则,
由题意可知的面积.
在中,根据余弦定理,
可得,
则的面积,
所以四边形的面积.
当时,四边形的面积最大,
此时,.
17.【解析】
(1)设等差数列的公差为,则有
整理得,解得,所以.
则,
由可知,数列是首项,公差为4的等差数列,
(2)由,,成等比数列,则有,
因为,整理得,
则有,解得.
18.【解析】
(1)连接,
因为四边形为菱形,
因为,,,
所以平面,且平面,
又因为,
所以平面,
又平面,
(2)由
(1)知平面,
所以平面平面,
作于点,则平面,
因为四边形为菱形,,
所以为等边三角形,
所以为的中点.
三棱锥的体积.
取上靠近的四等分点,则,且,
连接,则由,且,
得平面,从而,则,
从而,
设点到平面的距离为,
根据等体积变换,则有,则
所以点到平面的距离为.
19.【解析】
(1)由已知数据和参考数据得
,,
因为与的相关系数近似为0.998,说明与的线性相关程度相当高,
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
(2),
所以回归方程为.
(3)当时,,
当时,,
所以,到2025年沙漠治理面积可突破100万亩.
20.【解析】
(1)设,则,
令,则,从而,即,
又因为,即,
解得,,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,当时,不符合题意.
当时,设直线,
由联立,整理得,
,
即①.
设,,则,,
的中点在直线上,
则,整理得②.
②式代入①式整理得,
解得或.
因为,即
整理得③.
将②式代入③得,,且满足或,
所以,故直线的方程为,或.
21.【解析】
(1),
由,可知有,
故在上单调递增.
因为,,
所以函数有唯一零点,且.
(2)由,整理得,
设,,
由
(1)可知在上单调递增,
存在唯一零点,且
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增.
即为在定义域内的最小值,
所以①,
令,,
方程①等价于,
而在上恒大于零,所以在单调递增,
故等价于,,
故的最小值,
所以的取值范围为.
22.【解析】
(1)根据曲线的参数方程可得,,
所以曲线是经过坐标原点且半径为1的动圆.
由的极坐标方程,可得,
则有,整理得,
所以曲线是圆心为,半径为1的圆.
结合图形可知,若与有且只有1个公共点,
则两圆外切,从而,
又,解得,.
(2)当,曲线的普通方程为,
曲线的极坐标方程为,
由
(1)可知为曲线,的一个交点,
设另一交点为,
联立曲线,方程得.
整理得,
因为,解得,
23.【解析】
因为,,的值域为,
因为(当且仅当时取等号),
(2)由题意可知,即,
根据基本不等式可知,
同理,
则有,
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