偏微分方程组解法Word格式.docx
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qr=0;
命令:
x=linspace(0,10,20)*1e-2;
t=linspace(0,15,16);
sol=pdepe(0,@pdefun,@icfun,@bcfun,x,t);
mesh(x,t,sol(:
:
1))%温度与时间和空间位置的关系图
%画1、2、4、6、8、15s时刻温度分布图
plot(x,sol(2,:
1))1sholdon
时刻,(因为本题sol第一行为0时刻)
plot(x,sol(3,:
1))
plot(x,sol(5,:
plot(x,sol(7,:
plot(x,sol(9,:
1))plot(x,sol(16,:
计算结果:
嘟8秒时温度分布
sol(9,:
1)
经过8秒时的温度分布为:
x/cmt/C
或者求第8秒时,x=0,2,4,,6,8,10cm处的温度
[uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(9,:
),[0,2,4,6,8,10]*1e-2)
不同时刻温度分布图
将上图的视角转至xt平面也得到本图,从本图可知当时间达到15s时平壁内的温度分布已近稳定。
某厚度为20cm钢板原温度为20C,现将其置于1000C的炉中加热,平壁导热系数
为34.8W/m
C,对流传热系数h
174W/m
c,导温系数为a0.555105m2/s;
试
分析温度分布随时间的变化及钢板表面温度达到
500C时所需的时间。
解:
边界条件为:
t0,
0(平壁中心坐标为0,绝热),ht0.1,
t0.1,
%偏微分方程(一维动态平壁两侧对流)
function[c,f,s]=pdefun1(x,t,u,dudx)c=1/;
%偏微分方程初始条件(一维动态平壁两侧对流)
functionu0=icbun1(x)
%偏微分方程边界条件(一维动态平壁两侧对流)
function[pl,ql,pr,qr]=bcfun1(xl,ul,xr,ur,t)
pl=0;
ql=1;
pr=174*(ur-1000);
qr=;
%平壁两侧置于同一流体中具有对流传热,平壁中心
为绝热命令:
%600s内的温度分布变化
t=[0:
60:
600];
sol=pdepe(0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t);
mesh(x,t,sol)
%2160s内的温度分布变化
2160];
sol=pdepe(0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t);
mesh(x,t,sol)%60、120、180、240、300、360、420s时刻温度分布图
2160,第
1))60s(t网格为0:
2160,其时间间隔为0,60,120,180,二点为60s)
holdon
plot(x,sol(4,:
plot(x,sol(6,:
plot(x,sol(8,:
%1080、1440、1800、2160s时刻温度分布图plot(x,sol(19,:
plot(x,sol(25,:
plot(x,sol(31,:
plot(x,sol(37,:
1))600s内的温度分布变化
2160s内的温度分布变化
Bi
1740.1
34.8
0.5,Fo
0.555105360
0.12
0.2
360s时为
根据以上两准数可知:
该传热过程内外对流及导热阻力相当;
当加热时间小于
由该图可知,当加热时间达到2160s时,钢板的表面温度达到500C,钢板中心温度为:
[uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(37,:
),[0]*1e-2)
C
有关传热量问题:
(钢板的表面温度达到500C时,所需的总传热量)
Q
Q0
cVt0t
-Aexp
:
FoB
对平板:
(参见传热学)
10.66818,
sin
1sin
1cos1
1.07329,B
竺」0.92723
2FoB
1.07329
0.53520.927230.5827
0.58270.41726
Q0cVt0t
174
话冇1犖
2010006.14486108J
0.417266.14486108
2.564108J
MatLab解法:
x=[0:
1:
10]*1e-2;
(表面温度达到500C时所需时间为2160s)sol=pdepe(0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t);
size(sol)
length(t)
q=0;
fori=1:
36
q=q+174*((sol(i,11,1)+sol(i+1,11,1))/2-1000)*60;
(所需的热量均是从表面传递进入钢板的)
end
q
结果:
Q2.4797108J
有一直径为40cm钢锭温度为20C,将其置于900C的炉中加热,平壁导热系数为
2
34.8W/mC,对流传热系数h174W/m
C,导温系数为a0.695105m2/s;
试分
析温度分布随时间的变化及钢锭表面温度加热到长的圆柱。
750C时所需的时间;
钢锭可近似为无限
tx,0
0(平壁中心坐标为0,绝热)
,ht0.2,
t0.2,
20]*1e-2;
120:
5520];
(结合图5520s时,钢锭表面温度达到750C左右)
sol=pdepe(1,@pdefun2,@icfun2,@bcfun2,x,t);
m=1(圆柱)
PDETOO工具求解二维稳态与动态PDE
如图偏心环形空间内表面温度为
100C,外表面温度为20C;
试给出其温度分布。
20C,上部三角形截面处温度为
100C,其余各面绝
如图导热物体,下表面温度为
热,试给出其温度分布。
有一砖砌的烟气通道,其截面形状如附图所示,边长为1m内管道直径为0.5m。
已
知内外壁温分别为80C、25C,砖的导热系数为W/mC,试确定该通道的温度分布、距离任意相邻两直角边各0.1m处的温度及每米长烟道上的散热量。
距离相邻两直角边0.1m处的温度,即以上图中坐标(,)、(,)、(,)或(,)处;
x=[:
];
y=[:
];
uxy=tri2grid(p,t,u,x,y);
结果:
interp2(x,y,uxy,,
n
所以计算其中一面;
传递的热量在内表面处难以计算(圆形的表面),
故其温度为C
根据本题其四面对称,
但传递的热量必然通过外表面,其传热量只需将表面处各节点的一阶导数与节点间的面积、导热系数相乘即可得到传热量。
x=[:
:
];
y=[:
dudx=(uxy(:
2)-uxy(:
1))/(x
(2)-x
(1))x方向一阶导数
q=**sum(dudx)*4结果:
dudx=(uxy(2,:
)-uxy(1,:
))/(y
(2)-y
(1))y方向一阶导数
由以上命令得
x方向一阶导数:
00
y方向一阶导数
由以上边界处的一阶导数结合图可知在边界中心处的热通量最大;
每米烟道的传热量为675W/m(根据传热学形状因子的计算方法得m
同上题,烟气通道原温度为25C,零时刻开始内外壁温分别维持在为80C、25C,
砖的导温系数为W/mC,试确定该通道温度分布随时间的变化及温度分布稳定所需的时间。
t2t2t
a22
xy
pdetool工具各菜单中的参数设置略,其中solve菜单parameters选项的时间设
置为0:
100:
8000。
首先在稳态情况下(椭圆形)求解(三角形网格经过两次细化),导出解u;
而后解以
上非稳态(抛物形)并导出解u1(三角形网格细化与稳态相同)和三角形网格参数p,e,
t;
pdemesh(p,e,t,u1(:
1))0s
2))100s
4))300spdemesh(p,e,t,u1(:
7))600spdemesh(p,e,t,u1(:
11))1000spdemesh(p,e,t,u1(:
21))2000spdemesh(p,e,t,u1(:
31))3000spdemesh(p,e,t,u1(:
51))5000spdemesh(p,e,t,u1(:
81))8000s稳定时间(以某时刻的温度分布与稳态温度分布的相对误差来判断)norm((u-u1(:
21))./u)结果:
norm((u-u1(:
31))./u)norm((u-u1(:
51))./u)norm((u-u1(:
81))./u)
可见在8000s以后的温度分布已基本没有变化。
u1
h=1r=0c=1a=0f=1
误差plotHeight3D中选择userentry:
u-(1-x.A2-y.A2)/4
u1-x-y
方可收敛
h=1r=0c=1a=0f=1-x-y
需采用solveparameters中usenonlinearsolver
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- 微分 方程组 解法