人教版数学必修一初等函数难题Word下载.docx
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3.(2014•天津二模)设a>b>0,a+b=1且x=()b,y=loga,z=a,则x,y,z的大小关系是( )
y<x<z
z<y<x
y<z<x
x<y<z
4.(2010•广州模拟)若2<x<3,,Q=log2x,,则P,Q,R的大小关系是( )
Q<P<R
Q<R<P
P<R<Q
P<Q<R
9.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(a>1),若x∈[0,1),t∈[4,6)时,F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值是4,则a的最小值为( )
10
2
3
4
10.(2013•自贡一模)已知对数函数f(x)=logax是增函数,则函数f(|x|+1)的图象大致是( )
二、解答题(共10小题)(选答题,不自动判卷)
11.已知函数f(x)=,a>0,b>0,且a≠1,b≠1.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)当a≠b时,利用
(1)中的结论,证明不等式:
.
12.已知函数f(x)=2x+|x|.
(1)解不等式:
≤f(x)≤;
(2)若关于x的方程f(2x)+af(x)+4=0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
13.设f(x)=()x﹣3x,解关于x的不等式f()+f(x)≤0.
14.已知α,β满足等式,试求α+β的值.
15.如果函数f(x)=ax(ax﹣3a2﹣1)(a>0且a≠0)在区间[0,+∞)单调递增,那么实数a的取值范围是什么?
16.(2007•浦东新区二模)记函数f(x)=f1(x),f(f(x))=f2(x),它们定义域的交集为D,若对任意的x∈D,f2(x)=x,则称f(x)是集合M的元素.
(1)判断函数f(x)=﹣x+1,g(x)=2x﹣1是否是M的元素;
(2)设函数f(x)=loga(1﹣ax),求f(x)的反函数f﹣1(x),并判断f(x)是否是M的元素;
(3)若f(x)≠x,写出f(x)∈M的条件,并写出两个不同于
(1)、
(2)中的函数.
17.(2010•徐州一模)设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函数图象上的两点,且,点P的横坐标为.
(1)求证:
P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(2)若,求Sn;
(3)记Tn为数列的前n项和,若对一切n∈N*都成立,试求a的取值范围.
①;
②
18.(2011•哈尔滨模拟)已知f(x)=ae﹣x+cosx﹣x(0<x<1)
(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:
19.(2009•金山区一模)已知函数f(x)=loga在定义域D上是奇函数,(其中a>0且a≠1).
(1)求出m的值,并求出定义域D;
(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明;
(3)当x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值的范围恰为(1,+∞),求a及r的值.
20.(2004•宝山区一模)已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)证明:
对任意实数b,函数y=f(x)的图象与直线最多只有一个交点;
(3)设,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
【考点训练】基本初等函数I-1
参考答案与试题解析
考点:
对数的运算性质.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
函数f(x)=有唯一不动点⇔有唯一实数根,化为ax2+(2a﹣1)x=0,由于a≠0,可得△=0,解得a=.f(x)=.由于x1=2,xn+1=,可得,再利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出.
解答:
解:
函数f(x)=有唯一不动点,∴有唯一实数根,
化为ax2+(2a﹣1)x=0,∵a≠0,∴△=(2a﹣1)2﹣0=0,解得a=.
∴f(x)=.
∵且x1=2,xn+1=,
∴xn+1==,
∴,
∴数列{xn﹣1}是等比数列,
∴.
∴(x2014﹣1)==2013.
故选:
点评:
本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质,考查了等价转化能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
综合题.
由a,b为正实数,,知a+b,由(a﹣b)2=4(ab)3,知(a+b)2=4ab+(a﹣b)2=4ab+4(ab)3≥4=8(ab)2,故,所以a+b=2ab,由此能够求出logab.
∵a,b为正实数,,
∴a+b,
∵(a+b)2=4ab+(a﹣b)2=4ab+4(ab)3≥4=8(ab)2,
∴,①
故a+b=2ab,②
由①中等号成立的条件知ab=1,
与②联立,解得,或.
∴logab=﹣1.
故选B.
本题考要对数性质的综合应用,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意均值不等式的灵活运用.
对数值大小的比较.菁优网版权所有
利用对数函数和指数函数的单调性即可得出.
∵a>b>0,a+b=1,∴,
∴y=loga<z=a,即y<z.
∵a>b>0,a+b=1,
∴,,0<b<a<1.
∴z=a=0,=1.
∴x>z.
∴y<z<x.
本题考查了对数函数和指数函数的单调性,属于难题.
对数值大小的比较;
指数函数的定义、解析式、定义域和值域.菁优网版权所有
计算题;
利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到<P<,Q>1,R>,再构造函数x=22t,通过分析y=2t和y=2t的图象与性质,得到结论.
P=在x∈(2,3)上单调递减,<P<;
Q=log2x在x∈(2,3)上单调递增Q>1;
R=在x∈(2,3)上单调递增,R>,显然需要比较的是Q,R的大小关系.
令x=22t,这是一个单调递增函数,显然在x∈(2,3)上x与t一一对应,
则1<Q=log2x=2t,R=2t<,
∴<t<log23<•log24=1,在坐标系中做出y=2t和y=2t的图象,两曲线分别相交在t=1和t=2处,
可见,在t<1范围内y=2t小于y=2t,
在1<t<2范围内y=2t大于y=2t,
在t>2范围内y=2t小于y=2t,
∵<t<1,∴2t<2t,即R>Q;
∴当2<x<3时,R>Q>P.
故选D.
本题考查对数值大小的比较,难点在于Q,R的大小比较,考查构造函数,通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题,考查学生综合分析与解决问题的能力,属于难题.
5.设a,b,x∈N*,a≤b,已知关于x的不等式lgb﹣lga<lgx<lgb+lga的解集X的元素个数为50个,当ab取最大可能值时,=( )
6
由不等式lgb﹣lga<lgx<lgb+lga可得,利用对数函数的单调性可得,
由于a,b,x∈N*,关于x的不等式lgb﹣lga<lgx<lgb+lga的解集X的元素个数为50个,可得,化为.由于a≤b.可得ab≥51+1,再利用基本不等式即可得出.
由不等式lgb﹣lga<lgx<lgb+lga可得,
∵a,b,x∈N*,关于x的不等式lgb﹣lga<lgx<lgb+lga的解集X的元素个数为50个,
∴52>,∵a,b,x∈N*,a≤b.
∴(a=1时不成立),∴.
令g(a)=,∵a≥2,可知g(a)单调递减.
当a=2时,,取ab=68时,b=34.取ab=69,b不是整数,舍去.
因此ab的最大值为68.
∴当ab取最大可能值时,=6.
本题考查了集合的意义、基本不等式的性质,考查了推理能力,属于难题.
6.函数f(x)的定义域为D,满足:
①f(x)在D内是单调函数;
②存在[]⊆D,使得f(x)在[]上的值域为[a,b],那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“优美函数”,则t的取值范围为( )
(0,1)
(0,)
(﹣∞,)
对数函数的图像与性质.菁优网版权所有
根据复合函数的单调性,先判断函数f(x)的单调性,然后根据条件建立方程组,转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论.
若c>1,则函数y=cx﹣t为增函数,y=logcx,为增函数,∴函数f(x)=logc(cx﹣t)为增函数,
若0<c<1,则函数y=cx﹣t为减函数,y=logcx,为减函数,∴函数f(x)=logc(cx﹣t)为增函数,
综上:
函数f(x)=logc(cx﹣t)为增函数,
若函数f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“优美函
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