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③;
;
(4)①若为偶数,则2K,(k);
若为奇数,则21,(k);
②若被3除余0,则3k,(k);
若被3除余1,则31(k);
若被3除余2,则32(k);
三、集合中元素的个数的计算:
(1)若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为2,所有真子集的个数是2-1,所有非空真子集的个数是2-2。
(2)中元素的个数的计算公式为:
(3)韦恩图的运用:
四、满足条件,满足条件,
若;
则是的充分非必要条件;
则是的必要非充分条件;
则是的充要条件;
则是的既非充分又非必要条件;
五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的充要性;
“若,则”在解题中的运用,
“”是“”的充分不必要条件。
六、反证法:
当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立,
步骤:
1、假设结论反面成立;
2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;
3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。
正面词语
等于
大于
小于
是
都是
至多有一个
否定
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
至少有两个
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
任意两个
一个也没有
某些
存在
至少1个
存在两个不
课本题
1.设,则(1,2)
2.(P13练习5)设
则A,,R,A。
3.(P14习题9)一个集合的所有子集共有个,若,则{1,2.4}
4.(P14习题10)我们知道,如果集合,那么S的子集A的补集为.类似地,对于集合,我们把集合叫做集合A,B的差集,记作A-B.若,则{1,2.3.6.7.8}.若,则集合与之间的关系为
5.(P17复习题6)已知集合,则)
6.(P17复习题8)满足的集合A最多有4个。
7.(P17复习题10)期中考试,某班数学优秀率为70%,语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为45%。
8.(P17复习题11)设全集为U,则三者之间的关系为
9.(P17复习题12)设A,B均为有限集,A中元素的个数为m,B中元素的个数为n,中的元素的个数s,中的元素的个数t,则下列各式能成立的序号是
(1)
(2)
(1).
(2).(3).
10.(P17复习题13)对于集合A,B,我们把集合记作.例如,,则有
据此,试解答下列问题:
(1)已知,求及;
{(a,1),(a,2),(a,3)}{
(1),
(2),(3)}
(2)已知,求集合A,B;
{1,2}{2}
(3)若A有3个元素,B有4个元素,试确定有几个元素?
12
高考题
1.若集合,满足,则实数2.
2.设集合,
3.已知全集,集合,,那么集合等于
4.设集合,则
5.设集合,,,则
6.定义集合运算:
设,,则集合的所有元素之和为6
7.(湖南卷2)“成立”是“成立”的必要不充分条件
8.已知全集,集合,,则集合中元素的个数为2
9.设是整数,则“均为偶数”是“是偶数”的充分而不必要条件
10.(福建卷2)设集合{}{0<x<3=,那么“”是“”的充分而不必要条件
11.已知,,
则
12.已知集合,则集合=D
A.B.C.D.
13.(江苏卷4),则AZ的元素的个数0.
14.(重庆卷11)设集合{1,2,3,4,5}{2,4}{3,4,5}{3,4},则=.
二函数概念
一、知识清单
1.映射:
设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:
A→B,f表示对应法则,(a)。
若A中不同元素的象也不同,且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。
2.函数定义:
函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集{f(x)∈A}为值域。
3.函数的三要素:
定义域,值域,对应法则.从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。
4.函数定义域的求法:
①分母不为0;
②偶次根式中被开方数不小于0;
③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;
④零指数幂的底数不等于零;
5.函数值域的求法:
①配方法(二次或四次);
②判别式法;
③反函数法(反解法);
④换元法(代数换元法);
⑤不等式法;
⑥单调函数法.
⑵常用函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
1函数的值域为R;
2二次函数
当时值域是,当时值域是];
3反比例函数的值域为;
4指数函数的值域为;
5对数函数的值域为R;
6函数的值域为[-1,1];
7函数,的值域为R;
二、课前练习
1.若,,则到的映射有3个,到的映射有4个;
若,,则到的一一映射有6个。
2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是4
3.已知扇形的周长为20,半径为,扇形面积为,则20r;
定义域为0<
r<
10。
4.求函数的定义域.{<
-3或-3<
x≤-1或x≥4}
5.若函数的定义域为[-1,1],求函数的定义域【-】。
6.已知(x≠0),求=15.
7.求函数的值域.
8.下列函数中值域为的是(B)
(A)(B)(C)(D)
三、典型例题
例1若f31是从集合{1,2,3,k}到集合{4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数a、k的值及集合A、B.(2,5;
{1,2,3,5}{4,7,16,10})
例2、设函数,,求函数的定义域.{>
}
变式1:
函数的定义域是
变式2:
设,则的定义域为
函数值域
观察法(用非负数的性质)
例1 求下列函数的值域:
3x2+2;
{≥2}
变式:
5+2(x≥-1).{≥5}
配方法
例2 求值域:
变式x
变式求函数的值域.
换元法
例3.求函数的值域.
变式求函数3的值域.{≤}
分离常数法
对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域.
例4求下列函数的值域:
({})
变式、.[-1,1]
利用判别式
特殊地,对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2(y)(y)=0的函数(x),可利用.
例5 求函数y=的最值.[-]
[1,5]
函数解析式
一、换元法,拼凑法:
例1:
设,求.
变式,求.
二、待定系数法:
例2:
已知是一次函数,且满足,求;
变式设二次函数(x)的最小值等于4,且f(0)
(2)=6,求f(x)的解析式
三、利用对称性:
例3:
已知函数与(x)关于点(-2,3)对称,求g(x)的解析式
四、实战训练
1、(07陕西文2)函数的定义域为(-1,1)
2、(07山东文13)设函数则1/2007.
3、(07北京文14)已知函数,分别由下表给出
1
2
3
则的值为1;
当时,1.
4、(07上海理1)函数的定义域为{<
4且x3}
5、(07浙江文11)函数的值域是.
6.(08北京模拟)若函数的定义域、值域都是闭区间[2,2b],则b的
为2。
7(08北京模拟)对于任意实数,,定义设函数
,则函数的最大值是1.
三、导数
1.求导法则:
(c)0 这里c是常数。
即常数的导数值为0。
()-1 特别地:
(x)1(x-1)()-2
(f(x)±
g(x))(x)±
(x)(k•f(x))k•(x)
2.导数的几何物理意义:
k=(x0)表示过曲线(x)上的点P(x0(x0))的切线的斜率。
V=(t) 表示即时速度。
(t)表示加速度。
3.导数的应用:
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数,但反之不一定。
如函数在上单调递增,但,∴是为增函数的充分不必要条件。
(二)与为增函数的关系。
为增函数,一定可以推出,但反之不一定,因为,即为或。
当函数在某个区间内恒有,则为常数,函数不具有单调性。
∴是为增函数的必要不充分条件。
(三)单调区间的求解过程,已知
(1)分析的定义域;
(2)求导数(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间。
③求极值、求最值。
极值≠最值。
函数f(x)在区间[]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。
最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。
P70练习4
(1)
(2)(3)P71习题9,10,11,12;
P78习题8,9
P83练习1,2,3;
P84习题5;
P88复习题7,9
高考题:
1.设曲线在点处的切线与直线垂直,则-2
2.若上是减函数,则的取值范围是
3.设曲线在点处的切线与直线垂直,则.2
4.(江苏卷8)直线是曲线的一条切线,则实数b=.2-1.
5已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
解:
(1)求导:
当时,,,在上递增
当,求得两根为
即在递增,递减,
递增
(2),且解得:
四三角函数
§
1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合:
.
1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、.
3、弧长公式:
.R4、扇形面积公式:
.
1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
2、设点为角终边上任意一点,那么:
(设)
,,.
3、,,在四个象限的符号一正二正弦三切四余
和三角函数线的画法.
4、诱导公式一:
()
5、特殊角0°
,30°
,45°
,60°
,
90°
,180°
,270°
的三角函数值.
1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系:
.2、商数关系:
1.3、三角函数的诱导公式
1、诱导公式二:
2、诱导公式三:
3、诱导公式四:
4、诱导公式五:
5、诱导公式六:
1.4.1、正弦、余弦函数的图象
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
1.4.2、正弦、余弦函数的性质
1、周期函
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