推荐复习专题中考数学复习全等与相似.docx
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推荐复习专题中考数学复习全等与相似
全等与相似
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说:
“来吧,你也该工作了。
可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。
”
“天哪!
三千两百万次。
”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?
办不到,办不到!
”另一支旧钟说:
“别听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。
”
“天下哪有这么简单的事情?
”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。
”小钟很轻松地每秒滴答摆一下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。
成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。
例1.△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置,使得DC∥AB,求∠EAB的度数。
例2.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
例3.如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.
(1)求证:
;
(2)当为边中点,时,如图2,求的值;
(3)当为边中点,时,请直接写出的值.
例4.如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
练习一全等三角形
B组
1.如图,给出下列四组条件:
①;
②;
③;
④.
其中,能使的条件共有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
2、如图,AD是△ABC的中线,。
与相等吗?
请说明理由。
3.已知:
如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC∥EF,∠B=∠E.
求证:
ΔABC≌ΔDEF.
4.如图,△和△均为等腰直角三角形,,连接、.求证:
.
5、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,添加一个条件,使DE=DF,并说明理由.
6、如图,AB是⊙O的直径,AC=AD,试说明△ABC和△ABD全等.
7、已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE。
求证:
GF=GC。
8、如图,AB是⊙O的直径,BCAB于点B,连接OC,弦AD//OC,作射线CD.
求证:
.
9.已知:
如图,是正方形.是上的一点,于,于.
(1)求证:
△≌△;
(2)求证:
.
C组
10.如图,△ACD≌△ECB,A、C、B在一条直线上,且A和E是一对对应顶点,如果,那么将△ACD围绕C点顺时针旋转多少度与△ECB重合。
11.如图,分别为的,边的中点,将此三角形沿折叠,使点落在边上的点
处.若,则等于()
A.B.C.D.
练习二相似三角形
B
1、已知△ABC∽△DEF,且AB:
DE=1:
2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为
(A)1:
2(B)1:
4(C)2:
1(D)4:
1
2、若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为()
A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.1∶
3、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的
值()
A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个
4、将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知
AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是.
5、如图,在矩形中,点分别在边上,,,求的长.
6.如图所示,给出下列条件:
①;②;③;④.
其中单独能够判定的个数为()
A.1B.2C.3D.4
7、如图,已知是矩形的边上一点,于.
求证:
.
8、如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?
请证明你的结论.
9.如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点。
和的顶点都在格点上。
求证:
∽。
10、小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为()
A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米
11、如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12mB.10mC.8mD.7m
12.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:
如图,在水平地面点E处放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离米。
当她与镜子的距离米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。
已知她的眼睛距地面高度米,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注:
入射角=反射角)。
13、如图,中,、两点在轴的上方,点的坐标是(-1,0).以点为位似中心,在轴的下方作的位似图形,并把的边长放大到原来的2倍.设点的对应点的横坐标是2,求点B的横坐标.
全等与相似
例1.解:
∵将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置
∴△ABC≌△AED
∴∠4+∠5=∠3+∠5AC=AD
∴∠3=∠4∠1=∠2
又∵DC∥AB
∴∠1=∠CAB=70°
∴∠2=70°
∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-70°-70°=40°
∴∠4=40°
答:
∠EAB的度数为40°。
例2.
解:
图略.画图正确得1分.
(1)与之间的数量关系为.
(2)答:
(1)中的结论仍然成立.
证法一:
如图4,在上截取,连结.
证法二:
如图,过点分别作于点,
于点.
可得,是的内心.
可证.所以.
例3解:
(1),.
.
,
,.
;
(2)解法一:
作,交的延长线于.
,是边的中点,.
由
(1)有,,
.
,,
又,.
,.
,,,
,.
解法二:
于,
..
设,则,
.
,
.
由
(1)知,设,,.
在中,.
..
(3).
例4解:
(1)∵抛物线与轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为
根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为(5′)
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=
=
==9
(3)相似
如图,BD=;∴BE=
DE=∴,
即:
所以是直角三角形
∴,且,
∴∽
练习一
1.B;
2、解:
与相等
证明:
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴在ΔABD和ΔACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴ΔABD≌ΔACD(SSS)
∴=
3.证明:
∵BC∥EF
∴∠F=∠ACB
∴在ΔABC和ΔDEF中
∴ΔABC≌ΔDEF(AAS)
4.∵
∴
∵△与△均为等腰三角形,
∴
在△和△中,
∴△≌△(SAS)∴
5、解:
需添加条件是BD=CD,或BE=CF.
证明:
如图,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BDE=∠CDF.
在△BDE和△CDF中,
∠BDE=∠CDF
BD=CD
∠B=∠C
∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴DE=DF.
法二:
添加BE=CF
证明:
如图,∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD.
在△BDE和△CDF中,
∠BED=∠CFD
∠B=∠C
BE=CF
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
6、如图,AB是⊙O的直径,AC=AD,试说明△ABC和△ABD全等.解 因为AB为⊙O的直径,所以
∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC和Rt△ADB中,
AC=AD,
AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ADB(HL).
7、求证:
GF=GC。
证明:
∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF
又∵AB⊥BE,DE⊥BE
∴∠B=∠E=900
在△ABC和△DEF中,
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠ACB=∠DFE
∴GF=GC
8、证明:
联结OD.
∵AD∥OC,
∴∠A=∠COB,∠ADO=∠COD
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∴∠COB=∠COD
在△ODC和△OBC中,
OD=OB
∠COB=∠CODOC=OC
∴△OCD≌△OCB(SAS)
∴CD=CB
9.证明:
∵是正方形,∴.
∴.
∵于,∴.
∴.
∵于,于,∴.
∵在正方形中,,∴△≌△.
(2)证明:
∵△≌△,∴.
∵,∴.
10、
解:
△ACD围绕C点顺时针旋转50°与△ECB重合
∵∠BCE=130°,A、C、B三点共线
∴∠ACE=50°
∴△ACD围绕C点顺时针旋转50°与△ECB重合
11.答案:
B
解:
∵将此三角形沿折叠,使点落在边上的点处
∴△CDE≌△PDE
∴∠CDP=∠PDE=48°
又∵分别为的,边的中点
∴DE∥AB
∴∠APD=∠PDE=48°
练习二
1、【答案】B
2、【答案】B
3、【答案】B
4、【答案】或2;
5、
解:
∵四边形是矩形,AB=6
∴∠A=∠D=90°,DC=AB=6
又∵AE=9
∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:
BE=
∵,
∴,即
∴EF=
6.【答案】C
7、
证明:
四边形是矩形,
∴,.
.
,,.
.
∴
8、△ABE与△ADC相似.理由如下:
在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90o,
∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADC=90o,∴∠ABE=∠ADC.
又∵同弧所对的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.
∴△ABE~△ADC.
10、【答案】B
11、【答案】A
12.
13、解:
过点、分别作⊥轴于,⊥轴于,
.
∵的位似图形是,
∴点、、在一条直线上,.
. .
又∵,.
又∵点的横坐标是2,点的坐标是(-1,0),
,..∴点的横坐标为
予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。
州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。
予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐《昌黎先生文集》六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。
读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义.徒见其浩然无涯,若可爱。
是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。
予亦方举进士,以礼部诗赋为事。
年十有七试于州,为有司所黜。
因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:
学者当至于是而止
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