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导数常见高考题型
导数常见高考题型
典例剖析
例1:
已知实数a满足1<a≤2,设函数f(x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同,
求证:
g(x)的极大值小于等于10.
(Ⅰ)解:
当a=2时,f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x
(-,1)
1
(1,2)
2
(2,+)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以,f(x)的极小值为f
(2)=.…………………………………6分
(Ⅱ)解:
f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
由于a>1,
所以f(x)的极小值点x=a,则g(x)的极小值点也为x=a.
而g′(x)=12x2+6bx-6(b+2)=6(x-1)(2x+b+2),
所以,
即b=-2(a+1).
又因为1<a≤2,
所以g(x)极大值=g
(1)
=4+3b-6(b+2)
=-3b-8
=6a-2
≤10.
故g(x)的极大值小于等于10
例2、已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:
在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个,使得成立,试求实数的取值范围.
解:
(Ι)由知:
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;
(Ⅱ)由,∴,.
故,
∴,∵函数在区间上总存在极值,
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内
又∵函数是开口向上的二次函数,且,∴
由,∵在上单调递减,所以;∴,由,解得;
综上得:
所以当在内取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值。
(Ⅲ)令,则
.
①当时,由得,从而,
所以,在上不存在使得;
②当时,,,在上恒成立,故在上单调递增。
故只要,解得综上所述,的取值范围是
例3已知函数(且).
(Ⅰ)试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(Ⅱ)已知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,求的值并写出函数的解析式;
(Ⅲ)记(Ⅱ)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?
若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
解:
(Ⅰ)由题设知:
.
①当时,函数的单调递增区间为及;
②当时,函数的单调递增区间为及;
③当时,函数的单调递增区间为及.…6分(Ⅱ)由题设及(Ⅰ)中③知且,解得,……8分
因此,函数解析式为.
(Ⅲ)假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴,显然、轴不是曲线的对称轴,故可设:
(),设为曲线上的任意一点,与关于直线对称,且,,则也在曲线上,由此得
,,且,,
整理得,解得或,
所以存在直线及为曲线的对称轴.
例4:
[已知函数定义域为(),设.
(1)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数;
(2)求证:
;
(3)求证:
对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
解:
(1)因为
由;由,
所以在上递增,在上递减
欲在上为单调函数,则
(2)因为在上递增,在上递减,
所以在处取得极小值
又,所以在上的最小值为
从而当时,,即
(3)因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数
因为,,
所以①当时,,所以在上有解,且只有一解
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解
③当时,,所以在上有且只有一解;
④当时,在上也有且只有一解
综上所述,对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意;
当时,有两个适合题.
例:
5、已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)为何值时,函数在区间上有零点.
解:
(1)令
①若,则,的递增区间是;
②若,则
方程的两根,,
当时,∴的递增区间是
③若且,即时,
方程的两根,,
此时的递增区间为和
④若且即时
此时的递增区间为
综上略
(2)问题等价于方程=0在上有实根,而=0,
令,
再令,则
当时,,↗,当时,,↘
∴当时,取得唯一的极大值也是的最大值
∴当时,∴在上单调递减
∴当时,
故当时,函数在上有零点.
例6、己知函数的导函数是,对于任意两个不等的正数,证明:
当
证明:
(1)由得
(1)
又
(2)
又
由的(3)
由
(1)
(2)(3)得
即
(2)由得
=
是两个不相等的正数
令()
列表
t
(0,)
-
0
+
减
极小值
增
即
方法总结:
构造函数证不等式
处理不等式恒成立问题常用分离参数法或看作两个函数来求解。
例7、己知在函数图象上,以为切点的切线的倾斜角为
(1)求的值
(2)求证
解:
(1)
将
证明
又
方法总结:
利用函数最值证明不等式
例8:
设是函数的两极值点,且
求证:
求证:
(3)若函数求证:
解:
(1)
的两个极值点
于是,又
即
(2)设则
当
当
(3)
=
又
即
方法总结:
利用韦达定理证明,涉及到二次方程的根的问题常常用到违达定理或二次函数的两点式
4、小苏打和白醋混合后,产生了一种新物质——二氧化碳气体,这种气体能使燃着的火焰熄灭,这样的变化属于化学变化。
例:
9、对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.如果函数有且仅有两个不动点0,2,且.
一、填空:
求函数的单调区间;
11、火药是我国的四大发明之一,我国古代的黑火药是硝石、硫黄、木炭以及一些辅料等粉末状物质的均匀混合物。
迄今为止,可以考证的最早的火药配方是“伏火矾法”。
已知数列各项不为零且不为1,满足,求证:
;
二、问答题:
设,为数列的前项和,求证:
解:
(1)设,
所以,所以,由,
又,所以,所以,
于是,
19、细胞也是生物最基本的功能单位,生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。
于是易求得的增区间为,减区间为
6、你还知道哪些环境问题?
它们都对地球造成了哪些影响?
(2)由已知可得,当时,
两式相减得,所以或
当时,,若,则与矛盾,
所以,从而,于是要证的不等式即为,于是我们可以考虑证明不等式:
,令,则,
5、垃圾的回收利用有哪些好处?
再令,由知,所以当时,单调递增,所以,于是,即①
令,当时,单调递增,所以,于是,即②
9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品,但是地球上的淡水资源十分有限,地球上的多数地区缺水。
由①②可知,所以,
答:
如水资源缺乏,全球气候变暖,生物品种咖快灭绝,地球臭氧层受到破坏,土地荒漠化等世界性的环境问题。
即原不等式成立。
11、在淡水资源短缺的情况下,水污染更给人类和其他生物造成了威胁。
绝大多数的水污染都是由人类的活动引起的。
(3)由
(2)可知,,在中,令,并将各式相加得
即
方法总结:
把数列问题转化为函数问题
例10、已知函数,若对任意恒有,求的取值范围。
解:
f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),对f(x)求导数得f'(x)=e-ax.
当0
当a>2时,利用导数易得:
f(x)在(-∞,-),(,1),(1,+∞)为增函数,
f(x)在(-,)为减函数,取x0=∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0) 当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有>1且e-ax≥1,得f(x)=e-ax≥>1.; 综上当且仅当a∈(-∞,2)时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。 例11: 已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调性; (Ⅱ)设.如果对任意,,求的取值范围. 解: (Ⅰ)的定义域为(0,+∞).. 当时,>0,故在(0,+∞)单调增加; 当时,<0,故在(0,+∞)单调减少; 当-1<<0时,令=0,解得. 则当时,>0;时,<0. 故在单调增加,在单调减少. (Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调递减,从而 , 等价于,① 令,则 ①等价于在(0,+∞)单调递递减少,即. 从而 故a的取值范围为(-∞,-2].
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