高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版必修.docx
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高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版必修
第三章三角恒等变换
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
tan(α+β)=.
tan(α-β)=.
2.二倍角公式
sin2α=2sinαcosα.
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan2α=.
3.升幂缩角公式
1+cos2α=2cos2α.
1-cos2α=2sin2α.
4.降幂扩角公式
sinxcosx=,cos2x=,
sin2x=.
5.和差角正切公式变形
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
6.辅助角公式
y=asinωx+bcosωx=sin(ωx+θ).
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α,β为锐角,cosα=,tan(α-β)=-,求cosβ的值.
解 ∵α是锐角,cosα=,
∴sinα=,tanα=.
∴tanβ=tan[α-(α-β)]==.
∵β是锐角,∴cosβ=.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系,常常在进行角的变换时,要注意各角之间的和、差、倍、半的关系,如α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)]等.
跟踪训练1 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
解
(1)由题可知,cosα=,cosβ=.
由于α,β为锐角,则sinα=,sinβ=,
故tanα=,tanβ=,
则tan(α-β)===-.
(2)因为tan(α+β)==1,
sinα=<,sinβ=<,
即α+β<,故α+β=.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值时x的值.
解 设sinx+cosx=t,
则t=sinx+cosx=
=sin,
∴t∈[-,],
∴sinx·cosx==.
∵f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,
∴g(t)=t+=(t+1)2-1,t∈[-,].
当t=-1,即sinx+cosx=-1时,f(x)min=-1,
此时,由sin=-,
解得x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z.
当t=,即sinx+cosx=时,f(x)max=+,
此时,由sin=,即sin=1,
解得x=2kπ+,k∈Z.
综上,当x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,f(x)min=-1;当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值,f(x)max=+.
反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出来.
跟踪训练2 求函数y=sinx+sin2x-cosx(x∈R)的值域.
解 令sinx-cosx=t,
则由t=sin知,t∈[-,].
又sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-t2,
∴y=(sinx-cosx)+sin2x=t+1-t2
=-2+.
当t=时,ymax=;
当t=-时,ymin=--1.
∴函数的值域为.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)=2sin(x-3π)sin+2sin2-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.
解
(1)因为f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)
=sin2x+cos2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
所以f(x)的最大值为2,最小值为-1.
(2)由
(1)可知,f(x0)=2sin.
又因为f(x0)=,
所以sin=.
由x0∈,得2x0+∈,
所以cos=-=-,
cos2x0=cos
=coscos+sinsin
=.
反思与感悟
(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数,这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数,将三角函数表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
跟踪训练3 已知cos=, 解 = = = =sin2x·tan. ∵ 又∵cos=,∴sin=-. ∴tan=-. ∴cosx=cos =coscos+sinsin =×=-. ∴sinx=sin =sincos-sincos=-, sin2x=.∴=-. 类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sinx+2cosy=2,求2sinx+cosy的取值范围. 解 设2sinx+cosy=a. 由解得 从而解得1≤a≤. 故2sinx+cosy的取值范围是. 反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把某个三角函数式看作未知数,联系已知条件或三角公式,设法建立关于未知数的方程组,从而使问题得以解决. 跟踪训练4 已知关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α,β,求cos(α+β)的值. 解 设x=cosθ,y=sinθ,则有 消去y,并整理得4x2+2ax+a2-1=0.① 由已知得cosα,cosβ是①的两个实数解, 由根与系数的关系,得 ∴sinαsinβ=(cosα+a)(cosβ+a) =3cosαcosβ+(cosα+cosβ)a+a2 =. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =-=. 1.若α是第三象限角,且sin(α+β)cosβ-sinβcos(α+β)=-,则tan等于( ) A.-5B.-C.D.5 答案 A 解析 ∵sin(α+β)cosβ-sinβcos(α+β) =sin[(α+β)-β]=sinα=-, 又∵α是第三象限角,∴cosα=-. ∴tan===-5. 2.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin2θ等于( ) A.B.- C.D.- 答案 A 解析 由=sin4θ+cos4θ =(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ =1-sin22θ, 得sin22θ=,即sin22θ=. 又∵2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z), ∴4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z), 故sin2θ=.故选A. 3.已知sinα+cosβ=,sinβ-cosα=,则sin(α-β)=. 答案 - 解析 由(sinα+cosβ)2+(sinβ-cosα)2=, 得2sin(α-β)=-, 即sin(α-β)=-. 4.设α为锐角,若cos=,则sin的值为. 答案 解析 ∵α为锐角且cos=, ∴sin=. sin=2sincos=, cos=2cos2-1=, ∴sin=sin ==. 5.已知函数f(x)=cosx·sin(x+)-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间[-,]上的最大值和最小值. 解 (1)由已知,有f(x)=cosx·(sinx+cosx)-cos2x+ =sinx·cosx-cos2x+ =sin2x-(1+cos2x)+ =sin2x-cos2x=sin(2x-). 所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)因为f(x)在区间[-,-]上是减函数,在区间[-,]上是增函数, f(-)=-,f(-)=-,f()=, 所以,函数f(x)在闭区间[-,]上的最大值为,最小值为-. 本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具,在三角函数式求值、化简、证明,进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确,快速化到最简,再进一步研究函数的性质. 课时作业 一、选择题 1.cos2017°cos1583°-sin2017°sin1583°等于( ) A.0B.C.D.1 答案 D 解析 原式=cos(2017°+1583°)=cos3600°=1. 2.函数y=sin2x+sin2x(x∈R)的值域是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 y=sin2x+ =(sin2x-cos2x)+ =sin(2x-)+. ∵x∈R,∴2x-∈R, ∴sin(2x-)∈[-1,1], ∴函数的值域是. 3.函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1B.π,2 C.2π,1D.2π,2 答案 A 解析 ∵f(x)=sin2x+cos2x=sin, ∴最小正周期T=π,振幅A=1. 4.已知tan(α+)=-,且<α<π,则等于( ) A.B.- C.-D.- 答案 B 解析 ==2cosα. ∵tan==-, ∴tanα=-3, ∵α∈,cosα=-. 则=2cosα =2×=-. 5.已知向量a=(sinα,1),b=(2,2cosα-)(<α<π),若a⊥b,则sin(α-)等于( ) A.-B.- C.D. 答案 D 解析 ∵a⊥b, ∴a·b=2sinα+2cosα-=2sin(α+)-=0, ∴sin(α+)=. ∵<α<π, ∴<α+<, ∴cos(α+)=-. ∴sin(α-)=-sin(-α)=-cos(α+)=. 6.若=3,则cos2θ+sin2θ的值是( ) A.-B.- C.D. 答案 D 解析 由题意知,tanθ=, 则cos2θ+sin2θ=cos2θ+sinθcosθ===. 7.函数y=sinxcosx+cos2x-的图象的一个对称中心为( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 y=sin2x+(1+cos2x)- =sin-,令2x+=kπ(k∈Z), x=-(k∈Z),当k=2时,x=, ∴函数图象的一个对称中心为. 二、填空题 8.若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则sin2α+2cos2α=. 答案 -2 解析 由题意知,tanα=-2, sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2cos2α-2sin2α = ===-2. 9.函数y=(aco
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