版高考数学一轮复习第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用学案理.docx
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版高考数学一轮复习第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用学案理
4.3 平面向量的数量积及其应用
[知识梳理]
1.两个向量的夹角
2.平面向量的数量积
3.平面向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角,则
(1)e·a=a·e=|a|cosθ.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)cosθ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(4)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=.
特别提醒:
(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念,要加以区别.
(2)对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
(3)在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|,若a·b=b·c(b≠0),则a=c.但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=b·c(b≠0),则a=c不一定成立.例如a·b=|a||b|cosθ,当cosθ=0时,a与c不一定相等.
又如下图,向量a和c在b的方向上的投影相等,故a·b=b·c,但a≠c.
(4)两个向量的数量积是一个实数.
∴0·a=0(实数)而0·a=0.
(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c).
(6)a·b中的“·”不能省略.
[诊断自测]
1.概念辨析
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )
(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
(4)在△ABC中,A·B=|A|·|B|cosB.( )
答案
(1)√
(2)√ (3)× (4)×
2.教材衍化
(1)(必修A4P108T3)已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为( )
A.12B.6C.3D.3
答案 B
解析 a·b=-12=|a||b|cos135°,
解得|b|=6.故选B.
(2)(必修A4P104例1)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案 -2
解析 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cosθ=4×cos120°=-2.
3.小题热身
(1)(2017·包头质检)已知向量=,=,则∠ABC=( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
答案 A
解析 cos∠ABC==,所以∠ABC=30°.故选A.
(2)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 由题意知a·b=|a||b|cos60°=2×1×=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
所以|a+2b|=2.
题型1 平面向量数量积的运算
角度1 求数量积
已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.-B.C.D.
本题可采用向量坐标法.
答案 B
解析 建立平面直角坐标系,如图.
则B,C,
A,
所以=(1,0).
易知DE=AC,则EF=AC=,
因为∠FEC=60°,
所以点F的坐标为,
所以=,
所以·=·(1,0)=.故选B.
角度2 平面向量的夹角与垂直问题
已知△ABC周长为6,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c成等比数列,则·的取值范围为( )
A.[2,18)B.
C.D.(2,9-3)
本题采用转化思想、向量法、余弦定理.
答案 C
解析 由题意可得a+b+c=6,且b2=ac,
∴b=≤=,从而0
再由|a-c|
∴(6-b)2-4b2
又b>0,解得b>,
∴
∵cosB==,
∴·=accosB====-(b+3)2+27,
则2≤·<.故选C.
角度3 求向量的模(或最值、范围)
已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9
本题采用三角函数法、不等式法.
答案 B
解析 解法一:
由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.
故+=2=(-4,0)(O为坐标原点).
设B(cosα,sinα),∴=(cosα-2,sinα),∴++=(cosα-6,sinα),|++|==≤=7,当且仅当cosα=-1时取等号,此时B(-1,0),故|++|的最大值为7.故选B.
解法二:
同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,∴|++|=|3+|≤3||+||=3×2+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|++|max=7.故选B.
方法技巧
求向量模及最值(范围)的方法
1.代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.
2.几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
3.利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围.
冲关针对训练
1.已知向量a,b,c,满足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)·=0,则|b-c|的最小值是( )
A.2-B.2+C.1D.2
答案 A
解析 根据条件,设a=(1,),b=(3,0),设c=(x,y),则(c-2a)·=(x-2,y-2)·(x-2,y)=0;
∴(x-2)2+(y-)2=3;
∴c的终点在以(2,)为圆心,为半径的圆上,如图所示:
∴|b-c|的最小值为
-=2-.
故选A.
2.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.
答案 2
解析 解法一:
·=·(-)=2-2=22-×22=2.
解法二:
以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.
题型2 平面向量的综合应用
角度1 在平面几何中的应用
已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点,则·(-)的最大值为________.
本题采用坐标法、基向量法.
答案 9
解析 (坐标法)以C为原点,建立平面直角坐标系如图所示,设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则·(-)=·=(x,y)·(0,3)=3y,当y=3时,取得最大值9.
角度2 三角函数与向量
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:
a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
利用转化法将向量方程转化为三角方程.
解
(1)证明:
由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以1-2a·b+1=2.所以a·b=0.故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
所以
由此得cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.
又0<α<π,所以α=π-β.
代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=,
又α>β,所以α=,β=.
角度3 向量与解析几何的综合
已知动直线l与圆O:
x2+y2=4相交于A,B两点,且满足|AB|=2,点C为直线l上一点,且满足=,若M是线段AB的中点,则·的值为( )
A.3B.2C.2D.-3
运用数形结合思想,坐标法化为代数问题.
答案 A
解析 动直线l与圆O:
x2+y2=4相交于A,B两点,
且满足|AB|=2,则△OAB为等边三角形,
于是可设动直线l为y=(x+2),
根据题意可得B(-2,0),A(-1,),
∵M是线段AB的中点,
∴M.
设C(x,y),
∵=,
∴(-2-x,-y)=(-1-x,-y),
∴解得
∴C,
∴·=·=+=3,
故选A.
已知圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m:
3x-2y=0平分圆C.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l:
y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得·=6(O为坐标原点),若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
坐标法,利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解.
解
(1)线段AB的中点E,kAB==-1,
故线段AB的中垂线方程为y-=x-,即x-y+1=0.
因为圆C经过A,B两点,故圆心在线段AB的中垂线上.
又因为直线m:
3x-2y=0平分圆C,所以直线m经过圆心.
由解得
即圆心的坐标为C(2,3),
而圆的半径r=|BC|==1,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+2代入圆C的方程,即(1+k2)x2-(2k+4)x+4=0,
由Δ=(2k+4)2-16(1+k2)>0,得0 ∴x1+x2=,x1x2=, ∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=6, ∴(1+k2)+2k·+4=6, 即3k2+4k+1=0, 解得k=-1或k=-. 此时不满足Δ>0,与直线l与圆C交于M,N两点相矛盾, 所以不存在直线l,使得·=6. 方法技巧 1.平面向量的模及其应用的类型及解题策略 (1)求向量的模的方法: ①公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;②几何法,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法: ①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 2.向量在平面几何中的应用 用平面向量解决平面几何问题时,常常建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些.如角度1典例. 3.向量与三角函数综合应用 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. (2)还应熟练掌握向量
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- 高考 数学 一轮 复习 平面 向量 43 数量 及其 应用 学案理