影院座位设计的数学模型_精品文档Word文档格式.doc
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(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设:
1、观众的满意程度主要取决于视角α-β,越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面,可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系,设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为(x,y)。
模型建立:
根据题目,结合模型假设,有
Y=xtantanα=tanβ=
tan(==
模型求解:
(1)令f(x)=(d+x)+
为增函数
要使tan()最大,即视角最大,只需f(x)最小,为此,我们对f(x)求导
f′(x)=1+
=1+
令f′(x)=0
x=(0≤x≤14.5)
0≤x<
f’(x)>
<
x≤14.5f’(x)<
因此,tan()在x=处取得最大值。
将a=3.9,b=4.5,=10度代入上式,解得x=3.7m
综上,当地板倾角=10度时,最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m处。
(2)假设相邻两排观众间的水平距离为1m,那么观众所在位置的横坐标x的取值范围为0---14.5,x为整数。
下面结合模型,利用VB语言编写程序,分别求出地板倾角θ=1,2,----,20度时的平均视角,从而找出使得平均视角最大的θ的值。
具体程序见附录①,程序运行结果如下:
结果分析:
从以上数据可看出,随着地板倾角θ的增大,平均视角也在增大。
那么,这是否意味着θ=20度就是所求结果呢?
当然不是,我们还得考虑如下问题:
处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下,否则观众就得低着头看电影了,这与实际不符。
我们可用如下数学语言来描述这个问题:
假设最后一排观众所在位置的地板高为h,则由题目数据及以上分析可得h≤5-1.8/2-1.1=3m。
对于此限制条件,可用VB语言描述,具体程序见附录②,程序运行结果如下:
以上数据就是地板倾角在不同取值时,最后一排所在位置的地板高度,不难看出,当地板倾角θ=12度时,h≈3m,最符合限制条件。
综上,地板的倾角应为12度。
敏感性分析:
由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的,因此需要对二者(即t,x)作敏感性分析。
首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。
假设相邻两排座位间的水平距离x不变,利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、----、12.4、12.5度时的平均视角,具体程序见附录③,程序运行结果如下:
从以上数据可知,当地板倾角θ在12度附近变化时,对平均视角并无多大影响,这说明对地板倾角的假设是可用的。
下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。
结合实际,间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变,利用VB求出不同间距所对应的平均视角,具体程序见附录④,程序运行结果如下:
我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较,在此以12度为例。
Step()
Step
(1)
Step(0.9)
Step(0.8)
Step(0.7)
A(12)
2.904829
2.904831
2.904833
2.65224
从以上比较结果可知,相邻两排间的水平间距取0.8m为宜。
(3)首先证明如下结论:
如图所示,随着点A的下降(点A位于点C所在水平线上),α逐渐减小。
证明:
cosα=≥=1-
∵随着点A的下降,a,b都在增大
∴1-增大,即cosα增大
又∵0〈α〈90º
∴α逐渐减小
基于以上结论,我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位,从而增大视角和平均视角,进一步提高观众的满意程度。
地板可设计如下:
值得注意的是,ab、cd不能太长,否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线,不符合题目要求。
另外,cd应该稍低于屏幕下边缘所在水平线,否则后排观众将不能看到屏幕下边缘。
附录
①PrivateSubForm_Click()
Dimx%,t%,f!
y!
a(20)
Constpi=3.14
f=0
y=1.8/(4.5+x+(16-8.2*(Tan(pi*t/180))+(Tan(pi*t/180))^2*x^2)/(4.5+x))
Fort=0To20
Forx=0To20
f=f+y
Nextx
a(t)=f/21
Nextt
Fort=0To18Step(3)
Print"
a("
;
t;
"
)"
="
a(t);
t+1;
a(t+1);
t+2;
a(t+2)
Nextt
EndSub
②PrivateSubForm_Click()
Dimy!
x!
t%,h(20)
y=14.5*Tan(t*pi/180)
h(t)=y
Print"
h("
h(t);
h(t+1);
h(t+2)
③PrivateSubForm_Click()
Dimx%,t!
f!
Fort=11.5To12.5Step(0.1)
Forx=0To14
a(t)=f/15
a(t)
④PrivateSubForm_Click()
【参考文献】:
【1】姜启源谢金星叶俊《数学模型》高等教育出版社
【2】朱道元《数学建模案例精选》科学出版社
Mathematicalmodelingfortheaterseatdesign
WuXiaogang
【Abstract】Asimplemathematicalmodelingissetupinviewoftheaverageangleofview,abestpositionofviewingisacquired,.Furtherlythefloordesignprogrammersforpromotingthewatcherssatisfactionisproposed.
【Keywords】PerspectiveAverageperspectiveModelMathematicalmodeling
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