罗尔中值定理的内容及证明方法_精品文档Word格式文档下载.doc
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1.形如“在内至少存在一点,使”的命题的证法。
(1)当时,一般这种情况下,我们只需验证满足罗尔定理的条件,根据罗尔定理来证明命题。
在证明过程中,我们要注意区间的选取,有时候所需验证的条件并不是显而易见的。
例1设在闭区间上连续,开区间内可导,。
,使
分析:
由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的,而且这个问题涉及到定积分,所以我们考虑运用积分中值定理的知识,尝试在中找到一个区间,在中运用罗尔中值定理去证明。
证:
因为
显然在闭区间上连续,在开区间内可导
根据罗尔定理,,使
(2)当时,若所证明的等式中不出现端点值,则将结论化为:
的形式,构造辅助函数,我们就可以运用
(1)中的方法证明命题。
我们在构造辅助函数时,可用观察法、积分法、递推法,常数法等等。
例2设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,证明:
在内至少存在一点,使
要证明
只需证
故令,则在闭区间上连续,在开区间内可导,且
故,,使得
即:
2.应用罗尔定理来讨论方程的根:
解决这类问题首先要构造一个函数,使该函数的导数是结论中的函数。
例3证明方程在内至少有一实根。
若令,则,的符号不易判别,所以不适合运用介值定理,因此我们采用罗尔中值定理来证明。
令,则在上连续,在内可导,且。
由罗尔中值定理可知:
,使。
即
所以方程在内至少有一实根
例4若可导,试证明在的两个零点之间,一定有的零点。
要证存在零点,我们需要构造一个辅助函数,使得,将问题转换为的零点存在问题。
令,设,为的两个零点,即,。
则有。
假设,有在上连续,在内可导。
由罗尔中值定理可得,,使,即,又因为,故。
所以,在的两个零点之间,一定有的零点。
(三)广义的罗尔中值定理
罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理,也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。
下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。
广义的罗尔定理有多种形式,它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后得到广义的罗尔中值表达式。
广义的罗尔定理有多种形式。
形式1:
若函数在内可导,且,则在内至少存在一点,使。
若,则结论显然成立。
若,不妨设,使,由,知:
对,,,当,时,有,则。
又在上连续,故必存在最小值,即,使。
又当,时,都有,则也是在上的最小值。
故由费马定理知,
例5设函数在区间上可导,且有,证明,使。
令,因为,所以。
又因为,所以。
而,,所以,故在可导。
由广义的罗尔中值定理,,使,即。
形式2:
证明方法与形式1类似。
例6求证函数在内至少存在一点,使得。
显然函数在开区间内可导,且有,。
则由形式2可知,在内至少存在一点,使。
而,故。
形式3:
若函数在内可导,且(为有限数或),则在内至少存在一点,使。
若为有限数,当,显然结论成立。
若,必,使。
不妨设,,使得。
而,由局部保号性,必,使,,使。
因为在可导,所以在,连续。
由介值定理,,,使。
在利用罗尔中值定理,,使得。
若,由,,知,使得,使,则有,使,则有。
再由在连续,,,有,在利用罗尔中值定理,有。
例7求证函数在内至少存在一点,使。
显然函数在内可导,且有,。
则由形式3可知,在内至少存在一点,使。
而,故有。
形式4:
令,由题设知:
,,且存在。
由形式3可知,,使,而,故,。
例8求证函数在内至少存在一点,使。
则由形式4可知,在内至少存在一点,使。
而,故有,。
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