数学建模在材料科学中的应用举例_精品文档Word文档下载推荐.doc
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例1:
金属中空位形成能建模研究
1)建模准备
金属中空位研究的重要性,研究空位缺陷的形成能。
高能粒子对材料性能的影响,尤其是反应堆的金属材料在高能粒子的辐射作用下,性质如何变化,如何保证其安全运行?
固体受辐射后产生三种效应:
电离、蜕变和离位(产生空位和填隙粒子),其中离位是金属中最主要的辐照效应。
空位形成的模型
1-形成空位
2-蒸发
3-形成填隙原子
2)建模假设与模型构造
a.金属材料为晶体,晶体为面心立方结构,原子间的交互作用限于最近邻;
b.空位的形成能定义为:
从晶体内部取出一个原子放到晶体表面所需的能量;
c.为不显著影响晶体表面的形状,取出的晶体放在晶体表面的台阶。
3)模型求解和模型分析
面心立方体(配位数为12)取出离子要割断12个键,而在表面台阶处放置一个原子,要形成6个鍵,因此净效应为割断6个鍵,其能量净效应等于晶体的结合能。
结论:
空位形成能与结合能间有密切的关系。
4)模型检验
结合能愈大,熔点愈高,则空位形成能愈大。
结论基本符合实验事实。
实际空位形成能只有结合能的1/2-1/4 --未考虑金属鍵的特征和空位周围原子的位移。
需重新建模。
Ø
从内部取出正离子的情况
u从晶体点阵中取出一个正离子,设所带正电荷均匀散布于晶体中以抵消它的价电子,使整个晶体仍保持电中性,形成穴位静电效应。
u对于单价金属,空位的静电效应,即空位的附加电荷为-Ze(Z=-1),引起导带电子的屏蔽效应。
达到平衡后,空位周围只保留局部的干扰电势(Vp)。
(1-1)
u设导带的电子浓度为n,静电能的增加等于nVp的体积积分:
式中:
r表示积分元到空位中心的距离
R表示积分区域的半径。
(1-2)
根据电子屏蔽模型:
Vp与Z应满足关系
N0(Em)表示晶体导带在费米能级Em处的能态密度。
从式(1-1)和(1-2)中消去积分,可得:
(1-3)
(1-4)
对于自由电子:
(1-5)
这里C是一个常数,将式(1-4)、(1-5)代入(1-3),则:
(1-6)
正离子放在表面台阶
由于自由电子气的膨胀,造成费米能的下降。
由式(1-5),即:
(1-7)
N为晶体中的原子数,V为晶体的总体积。
若体积膨胀了ΔV,费米能级的变化ΔEm。
对式(1-7)两边取微分
(1-8)
(1-9)
对式(1-7)两边取微分,得:
由模型可知,ΔV等于一个原子体积,ΔV/V就等于1/N;
而自由电子的平均动能为(3/5)EM,,因此总的费米能变化为:
因此,在此模型下,即考虑取出原子后的内部能量变化E1和放置在台阶上的能量变化E2后,E1和E2相加就等于空位的形成能:
重新建模结果:
E=4/15Em
空位形成能(实验值与理论值的对照)
金属
Uf/eV
(淬火)
(正电子湮灭)
(中位值)
(计算值)
Cu
1.27
1.29
1.28
0.8-1.0
Ag
1.10
1.16
1.13
0.6-0.92
Au
0.94
0.97
0.95
0.6-0.77
u若考虑到空位周围的原子略有松驰,可能降低能量,因而有第三项E3,比如对铜的估计值为-0.3eV。
这样,E1、E2、E3三项的迭加就近似等于实验值。
(最佳值)
+0.3
5)模型应用
根据模型可求解空位浓度:
c为平衡状态下的空位深度;
Uf为空位形成能;
Sf为形成一个空位改变了周围原子振动所引起的扰动熵;
k为玻尔兹曼常数;
T为热力学温度。
例2:
在炼钢渗碳工艺过程中通过平衡理论找出:
控制参量与炉气碳势间的关系
甲醇加煤油气氛的渗碳工艺中,炉气碳势与CO2含量的关系。
序号
CO2体积分数(φco2)%
碳势Cc%
1
0.81
0.63
2
0.62
0.72
3
0.51
0.78
4
0.38
0.85
5
0.31
6
0.21
1.11
理论分析
钢在炉气中发生如下反应:
CFe+CO2=2CO
CFe为钢中的碳。
根据化学反应平衡原理,可以求出该反应的平衡常数K:
αc为碳在奥氏体中的活度;
αc=wc/wc(A),
wc(A)为奥氏体中饱和碳含量,Wc为奥氏体中的实际;
Pco和Pco2为平衡时co和co2的分压。
通过理论推导,将相关参数代入即可求得碳势与炉气CO、CO2含量及温度的关系。
P为总压,设P=1atm;
αc为碳在奥氏体中的活度;
αc=wc/wc(A),
wc(A)为奥氏体中饱和碳含量,Wc为奥氏体中的实际碳含量;
Pco和Pco2为平衡时co和co2的分压;
φco和φco2平衡时co和co2的体积分数。
Cc表示平衡碳浓度,即炉气碳势;
Cc(A)表示加热温度T时奥氏体中的饱和碳浓度;
在温度一定时,K和Cc(A)为常数,如不考虑CO及其它因素的影响,将jco等视为常数,可得出:
A为常数
对
取对数,得:
令lgCc=Y,lgjco2=x,系数为b,可得:
利用实验数据进行回归分析,得到回归方程:
将参数进行还原,即得到碳势控制的单参数数学模型为:
Science),使材料研究脱离了原来的试错法(Trial
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