微分与积分中值定理及其应用_精品文档Word文档下载推荐.doc
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.
柯西中值定理:
设函数和满足
(ⅰ)在[a,b]上都连续;
(ⅱ)在(a,b)内都可导;
(ⅲ)和不同时为零;
(ⅳ),
则存在,使得
.
微分中值定理的推广
罗尔定理的推广
定理1:
设函数在(a,b)内可导,且有
,则存在点
,使得.
证明:
首先对A为有限值进行论证:
令
则易知函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且.由Rolle定理可知,在(a,b)内至少存在一点,使得,而在(a,b)内有,所以.
其次对A=()进行论证:
由引理1,在(a,b)内能取得最小值(最大值).不妨设:
函数在处取得最小值(最大值).此时函数在处也就取得极小值(极大值).又因为在处可导,由Fermat引理,可得.
综上所述,从而定理得证.
定理2:
设函数在(a,),内可导,且,证明:
在(a,)中存在一点,使得.
定理3:
设函数在(,b),内可导,且,证明:
在(,b)中存在一点,使得.
定理4:
设函数在(,),内可导,且,证明:
在(,)中存在一点,使得.
朗格朗日中值定理的推广
定理5:
如果函数满足条件:
在开区间(a,b)上可导且存在,则在(a,b)内至少存在一点,使得.
柯西中值定理的推广
定理6:
如果函数f(x)和F(x)满足条件:
①都在有限区间(a,b)内可导;
②
③
则在(a,b)内至少有一点,使得
作辅助函数A(x),B(x),并且令
则A(x),B(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,
且对由Cauchy中值定理可知,至少有一点使得
又当时,
∴
即:
1.2积分中值定理
积分中值定理:
若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得
.
积分中值定理的推广
推广的积分第一中值定理:
若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得
第一型曲线积分中值定理:
若函数在光滑有界闭曲线上连续,则在曲线上至少存在一点,使。
其中表示曲线的长。
第二型曲线积分中值定理:
若函数在有向光滑闭曲线上连续,则在曲线上至少存在一点,使
其中为有向光滑曲线在轴上的投影,符号是由曲线的方向确定。
第一型曲面积分中值定理:
若为平面上的有界闭区域,是光滑曲面,函数在上连续,则曲面上至少存在一点,使得
其中是曲面的面积。
第二型曲面积分中值定理:
若有光滑曲面:
,,其中是有界闭区域,函数在上连续,则在曲面上至少存在一点,使得
其中是的投影的面积。
3微积分中值定理的应用
3.1证明方程根(零点)的存在性
例1:
设函数和在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)内存在一点,使得.
令,则
,又有
,.易知在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)上可导,故运用Lagrange中值定理可得,存在一点,使得,
即,所以在(a,b)内存在一点,使得,故定理得证.
例2:
设函数和在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且在闭区间[a,b]上,有意义,.则在(a,b)内存在一点,使得.
令,,易知和在区间[a,b]上满足Cauchy中值定理条件,故有,
即,所以在(a,b)内存在一点,使得,故定理得证.
设为三个实数,证明:
方程的根不超过三个.
令,
则,,.
用反证法,设原方程的根超过程3个,那么F(x)至少有4个零点,
不妨设为,
那么有罗尔定理,存在,使
,
再用罗尔定理,存在,使,
因为,所以,矛盾,所以命题得证.
例2:
设函数在上连续,且。
证明:
一个,使。
令,显然在上连续。
可知在上满足零值定理。
故一个,使。
即
例3:
设实数满足关系式:
。
在内至少有一个实根。
显然在上连续,在内可导,
又,,故罗尔定理成立。
于是,使,
即:
故命题得证。
例4:
设在上连续。
,。
一个,使
在上连续,有最值定理有:
分别为在上最小最大值,于是:
,
,
由介值定理,一个,使
例5:
若在上连续,在内可导,证明在内方程至少存在一根。
证明:
显然在上连续,在内可导,
而.
根据Rolle定理,至少存在一点,
使.
例6:
设在,在,证明:
在内存在一点,
使成立。
,则在,在,
由Lagrange定理,存在一点,使,
即,
即
例7:
设在,在,证明:
令,对,在上运用Cauchy定理,
得,
即.
例8:
证明方程在(0,1)内至少有一个根。
(p46,209)
例9:
设抛物线与x轴有两个交点x=a,x=b(a<
b),函数f在[a,b]
上二阶可导,f(a)=f(b)=0,并且曲线y=f(x)与在(a,b)内
有一个交点,证明:
存在使得(p46,209)
例10证明:
方程有且仅有三个实根(p46,211)
3.2进行估值运算
估计的值.
解:
由推广的积分第一中值定理,得
其中
因为
所以
即
故
估计的积分
由于
于是
此时可得到估计的积分值为
3.3证明函数的单调性
例1;
设函数在上可导,单调增加且,证明在上单调增加.
设函数在上连续,,试证:
在内,若为非减函数,则为非增函数.
对上式求导,得:
利用积分中值定理,得:
若为非减函数,则,
,故为非增函数。
3.4求极限
求。
对函数在区间
上应用拉格朗日中值定理即可。
求,其中。
根据题意,由Lagrangge定理,有
其中,
求极限
利用广义积分中值定理
则
3.5证明不等式
求证
其中,于是由即可获证.
证明.
估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,则
.
证明
估计积分的一般的方法是:
求在的最大值和最小值,又若,则
本题中令
.
证明.
在区间上求函数的最大值和最小值.
令,得驻点.
比较,,知为在上的最小值,而为在上的最大值.由积分中值定理得
3.6推广定理的应用
设在上可得,且,证明:
,使得
问题相当于要找,使,因函数在内可导,故,即
又,即
由定理4知,使得,即题目得证。
.
设在[a,b]上连续(),在(a,b)上可导,证明存在一点,使得.
证:
根据定理7,令,那么,则存在一点,使得,即,故存在一点,使得.
设a,b>
0,证明存在一点,使得.
根据定理7,令,,那么,,则存在一点,使得,即,故存在一点,使得.
若是柱准面上的部分,是上的连续函数,则
设是在平面的上半部分,为在平面的下半部分,则。
由积分区间的可加性,有:
由于函数在:
上的部分上连续,所以函数在上连续,根据广义Riemann积分中推广,在上至少存在一点,使·
其中表示在平面上的投影区域的面积,由于关于平面对称,所以对上述,对应点,又与的方向相反,故有:
·
其中表示在平面上的投影区域的面积,又由于关于平面对称,所以有=,。
所以有:
=[·
-·
=0
证明完毕。
12
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