矩阵的运算及其运算规则_精品文档Word格式.docx
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结合律 .
二、矩阵与数的乘法
1、运算规则
数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素,记为或.
特别地,称称为的负矩阵.
2、运算性质
满足结合律和分配律
结合律:
(λμ)A=λ(μA);
(λ+μ)A=λA+μA.
分配律:
λ(A+B)=λA+λB.
典型例题
例6.5.1 已知两个矩阵
满足矩阵方程,求未知矩阵.
解 由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
设,,则A与B的乘积是这样一个矩阵:
(1)行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即.
(2)C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘,再取乘积之和.
例6.5.2 设矩阵
计算
解 是的矩阵.设它为
想一想:
设列矩阵,行矩阵,和的行数和列数分别是多少呢
是3×
3的矩阵,是1×
1的矩阵,即只有一个元素.
课堂练习
1、设,,求.
2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?
请算算试试看.并由此思考:
两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算.
3、设列矩阵,行矩阵,求和,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?
4、设三阶方阵,三阶单位阵为,试求和,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论.
解:
第1题
.
第2题
对于
,.
求是有意义的,而是无意义的.
结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:
左矩阵的列数=右矩阵的行数.
第3题
是矩阵,是的矩阵.
.
结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在与均有意义时,也未必有=成立.可见矩阵乘法不满足交换律.
第4题
计算得:
结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即.
单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用.
例6.5.3 设,试计算和.
解
.
结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若,不能得出或的结论.
例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组
可以写成矩阵的形式
=
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
,,,
则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1) 结合律 .
(2) 分配律 (左分配律);
(右分配律).
(3) .
3、方阵的幂
定义:
设A是方阵,是一个正整数,规定
,
显然,记号表示个A的连乘积.
四、矩阵的转置
1、定义
将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作或.
例如,矩阵的转置矩阵为.
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)
(2)
(3)
(4) ,是常数.
例6.5.5
利用矩阵
验证运算性质:
解 ;
而
所以
.
如果方阵满足,即,则称A为对称矩阵.
对称矩阵的特点是:
它的元素以主对角线为对称轴对应相等.
五、方阵的行列式
1、定义
由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作或.
2、运算性质
(1)(行列式的性质)
(2),特别地:
(3)(是常数,A的阶数为n)
思考:
设A为阶方阵,那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是,而是?
不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下和.
例如,则.
于是,而.
设,有几种方法可以求?
解
方法一:
先求矩阵乘法,得到一个二阶方阵,再求其行列式.
方法二:
先分别求行列式,再取它们的乘积.
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