几类二阶变系数常微分方程解法论文_精品文档文档格式.docx
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0引言
二阶变系数常微分方程y'
'
+pxy'
+qxy=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。
可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。
但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难,至今仍没有通用解法,因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。
本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解,给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。
1具有特定结构的二阶变系数常微分方程
二阶变系数齐次线性微分方程:
fxy'
+qxy=01.1,
(其中fx,px,qx为连续函数)。
1.1满足条件fxr2+pxr+qx=0,r为常数类型时,方程1.1的通解
在求1.1通解前,我们先求二阶常系数齐次线性方程
ay'
+by'
+cy=0其中a,b,c为常数且a≠01.1.1
由线性微分方程通解结构定理【1】知,若y1x,y2x是1.1.1的两个线性无关的特解,则其通解为y=c1y1x+c2y2x.
假设y=erx是方程是方程1.2的一个特解,则讨论r满足的条件
对y=erx两边求导得:
y'
=rerx,y'
=r2erx
将其代入方程1.2得:
ar2+br+cerx=0,
由于erx≠0,则可知ar2+br+c=01.1.2
当r为1.3的一个解时,y=erx必为1.2的解
由此很容易求出方程1.2的通解。
对比方程1.1,1.1.1,易知其结构类似,且方程1.1.1是1.1的特殊形式。
所以我们类比上述求解常系数方程的方法,猜想假设1.1有一个特解y=erx,
将y=erx,y'
=r2erx代入方程1.1得:
fxr2+pxr+qxerx=0
其中显然erx≠0,则有:
fxr2+pxr+qxerx=01.1.3
此时若对fx,px,qx存在常数r使得1.1.3对一切x恒成立,则方程1.1有一特解y1=erx,此时要想求出方程1.1的通解,还需要找出另一个特解y2,且y1,y2是线性无关的。
联想到常数变易法,易想到假设y2=uxerx也是方程1.1的一特解,
则y'
2=u'
x+ruxerx,
y'
x+2ru'
x+r2uxerx
将y2,y'
2,y'
2代入方程1.1得:
fxu'
x+2rfx+pxu'
x+fxr2+pxr+qxux=0
由于fxr2+pxr+qx=0
⇒fxu'
x=01.1.4
令hx=u'
x,则h'
x=u'
x,将方程1.5降为一阶线性
⇒1hxdhx=-2r-pxfxdx
⇒hx=e-2rx-pxfxdx
即得出dudx=hx=e-2rx-pxfxdx
解得ux=e-2rx-pxfxdxdx
即得出方程1.1另一特解y2=uxerx=erxe-2rx-pxfxdxdx,
由于y2y1=e-2rx-pxfxdxdx,显然y1,y2是线性无关的,
最终得出方程1.1的通解为:
y=c1y1x+c2y2x
=c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx
结论
(1):
二阶变系数齐次线性微分方程fxy'
+qxy=0,满足条件fxr2+pxr+qx=0,r为常数情况下,方程的通解为
y=c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx,其中c1,c2为常数
例1求方程xy'
-2x+1y'
+4y=0的通解
解:
由题可知fx=x,px=-2x-2qx=4,
则由fxr2+pxr+qx=0
⇒xr2-2x+1r+4=0
⇒r-2rx-2=0
因为r为常数,所以易得r=2,
则原方程的一个特解为:
y1=e2x
假设原方程另一特解y2=uxe2x,(ux不为常数)
则有y'
x+2uxe2x
y'
x+4u'
x+4uxe2x
将y2,y'
2,y'
2代入原方程得:
xu'
x+4uxe2x-2x+1u'
x+2uxe2x+4uxe2x=0
整理得:
u'
x=-2+2x
解得ux=-12x2+x+12e-2x
即y2x=uxe2x=-12x2+x+12
显然y1=e2xy2x=uxe2x=-12x2+x+12,是线性无关的
故原方程通解为:
y=c1e2x-12x2+x+12
1.2满足条件fxr'
x+fxr2x+pxr+qx=0,rx为连续可导函数,方程1.1的通解
要求方程1.1的通解同上,主要是要求出方程1.1的两个线性无关的特解,类比1.1的求法,猜想方程1.1由一特解y=erxdx,
=rxerxdx,y'
=r'
xerxdx+r2xerxdx
将y,y'
,y'
代入方程1.1fxy'
+qxy=0中得:
erxdxfxr'
x+fxr2x+pxr+qx=0
由于erxdx≠0,故有fxr'
x+fxr2x+pxr+qx=01.2.1
此时若对已知fx,px,qx而言存在函数rx能使2.1式恒成立,
则可知方程1.1必有一特解y1=erxdx
由常数变易法可设方程1.1的另一特解y2=vxerxdx,(vx为非常数,且y1,y2线性无关)
将y2=vxerxdx代入方程1.1,整理可得:
fxv'
x+2fxrx+pxv'
x+fxr'
x+fxr2x+pxr+qxvx
=0
由2.1式知fxr'
x+fxr2x+pxr+qx=0,
故有:
x=0也成立1.2.2
方程2.2不含vx项,则可降为一阶线性方程,
令v'
x=gx,则方程1.2.2可化为:
fxg'
x+2fxrx+pxgx=0
⇒gx=e-2fxrx+pxfxdx
即得出v'
x=gx=e-2fxrx+pxfxdx,
⇒vx=e-2fxrx+pxfxdxdx
故y2=vxerxdx=erxdx∙e-2fxrx+pxfxdxdx
因此方程1.1的通解为
y=c1y1x+c2y2x=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx
结论2:
二阶变系数齐次微分方程1.1满足条件fxr'
x+fxr2x+pxr+qx=0,则其通解为y=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx
例2:
求y'
-2sinxy'
-cosx-sin2xy=0的通解
解:
由题知fx=1,px=-2sinx,qx=-cosx+sin2x
则得出:
r'
x+r2x-2sinxrx-cosx+sin2x=0
x-cosx+y-sinx2=0
易得rx=sinx,
则由结论2得原方程通解为:
y=esinxdxc1e-2sinx-2sinxdxdx+c2=e-cosxc1x+c2
1.3满足条件fxr'
x+fxr2x+pxr+qx=0,的非齐次变系数常微分方程fxy'
+qxy=gx1.3.1的通解
前面1.1、1.2都是讨论的齐次变系数微分方程,而1.3是对应的非齐次微分方程,故可用常数表变易法求解方程由齐次方程方程1.3.1。
由1.2知方程1.1的特解y=erxdx,可用常数变易法将其变换为:
y=cxerxdx1.3.2
将1.3.2代入方程1.3.1,化简整理得:
fxc'
x+2fxrx+pxc'
x+fxr2x+pxr+qxcx=gxe-rxdx
由于rx满足1.2.1式fxr'
故有
x=gxe-rxdx
整理得:
c'
x+2fxrx+pxfxc'
x=gxfxe-rxdx
即可解出:
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