概率论与数理统计第二章基础知识小结_精品文档Word文档格式.docx
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(1)0-1分布()
01
(2)二项分布()
(3)泊松分布()
二、连续型随机变量分布函数及其概率密度
1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义:
其中,为X的分布函数,为X的概率密度。
2.概率密度的性质
(3)
(4)
3.三种常见的连续型随机变量
(1)均匀分布()
(2)指数分布()
(3)正态分布()
(4)标准正态分布()及其性质
性质:
A.
B.
(5)非标准正态分布标准化
设,则
z=x-μσ~N(0,1)
三、随机变量函数的概率分布
1.离散型随机变量函数的概率分布
设离散型随机变量X的分布律为:
……
则X的函数的分布律为:
……
2.连续型随机变量函数的分布
设X的连续型随机变量,其概率密度为。
设是一严格单调的可导函数,其值域为,且。
记为的反函数,则的概率密度为
特别地,当时,
本章历届试题
1.(2013.10.2).设随机变量,Φ为标准正态分布函数,则=
A.Φ(x) B.1-Φ(x)
C.Φ D.1-Φ
PX>
x=1-PX≤x=1-Φx-μσ
2.(2013.10.13).设随机变量X服从参数为1的指数分布,则=.
解:
因为,随机变量X服从参数为1的指数分布
所以,X的概率密度为
3.(2013.10.14).设随机变量,则Y的概率密度
=.
4.(2013.10.29).设随机变量X的概率密度为
求:
(1)常数c;
(2)X的分布函数;
(3).
(1)由得:
fx=x8,0<
x<
40,其他
(2)由得:
当x≤0时,
当时,;
当x≥4时,Fx=-∞xf(t)dt=-∞00dt+04t8dt+4x0dt=1
即X的分布函数为Fx=0,x≤0x216,0<
41,x≥4
5.(2013.4.3).设随机变量X的分布函数为F(X)则( )
A.F(b-0)-F(a-0)B.F(b-0)-F(a)
C.F(b)-F(a-0)D.F(b)-F(a)
6.(2013.4.14).设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则
.
分析:
泊松分布的分布律为
由于随机变量X服从参数为1的泊松分布,所以
7.(2013.4.15).设随机变量X的概率密度为,用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数,则__0__.
Y~B(3,p),P{Y>
3}=0
p=PX>
3=3+∞f(x)dx=3+∞1x2dx=-1x3+∞=13
3=1-PX≤3=1--∞3f(x)dx=1-131x2dx=13
1x2dx=x-2dx=-x-1+C=-1x+C
由于,Y表示“对X的3次独立重复观察中事件出现”的次数,
所以Y~B3,13,(Y=0,1,2,3)
PY>
3=0
3=1-PY≤3
=1-PY=0-PY=1-PY=2-PY=3
=1-C30130233-C31131232-C32132231-C33133230
=1-827-49-29-127=0
7.(2014.4.2)设随机变量x的分布律为
X
-102
P
0.10.30.6
F(x)为X的分布函数,则F(0)=
A.0.1 B.0.3
C.0.4 D.0.6
F(0)=P{x=-1}+P{x=0}=0.1+0.3=0.4
8.(2014.4.14)设随机变量X服从区间[1,5]上的均匀分布,F(x)为X的分布函数,当1≤x≤5时,F(x)=_x-14______.
fx=14,1≤x≤50,其他
当1≤1<
5时,FX=1x14dt=t41x=x-14
9.(2014.4.15)设随机变量X的概率密度为=_______.
12=1212xdx=x2121=1-14=34
10.(2014.4.16)已知随机变量X~N(4,9),,则常数c=_______.
c=1-PX≤c=PX≤c,所以PX≤c=12=Φ0
由于X~N4,9,所以z=x-43~N(0,1)
PX≤c=PX-43≤c-43=PZ≤c-43=Φc-43=Φ0
c-43=0,c=4
11.(2014.4.29)设随机变量X~N(0,1),记Y=2X,求:
(1)P{X<
-1};
(2)P{|X|<
1};
(3)Y的概率密度.()
1由于X~N0,1,所以
PX<
-1=Φ-1=1-Φ1=1-0.8413=0.1587
2由于X~N0,1,所以
1=2Φ1-1=2×
0.8413-1=0.6826
3由于X~N0,1,Y=2X,所以Y~N0,4,那么Y的概率密度函数为
fy=1σ2πe-(y-μ)22σ2=122πe-y28
8.(2013.1.3)以下函数中能成为某随机变量分布函数的是()
A. B.
C. D.
(A),淘汰
(B),淘汰
(C),时,单调增加,答案C
(D),时,有增有减,淘汰。
9.(2013.1.4).设~,的分布函数为,则的值为()
A. B. C. D.
10.(2013.1.14).设X的分布律为(),则_6__.
11.(2013.1.15),其中,若,则___________.
12.(2013.1.16)设X的分布律为
1
0.3
0.2
0.4
0.1
则0.6.
13.(2013.28)设连续型随机变量的分布函数为,
试求:
(1)系数;
(2)的概率密度;
(3).
由于连续型随机变量的分布函数为
所以随机变量X的概率密度函数为
故
(2)的概率密度为
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