大学微积分l知识点总结一.docx
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大学微积分l知识点总结一
大学微积分I知识点总结
【第一部分】大学阶段准备知识
1、不等式:
22
ab2ab
3abc
c33abc
aba2b2
2'2
当且仅当,aibi为常数,i1,2,3...n时取等号
2、函数周期性和对称性的常用结论
1、若f(X+a)=±f(X+b),则f(x)具有周期性;若f(a+X)=±f(b-X),则f(x)具有对称性。
口诀:
“内同表示周期性,内反表示对称性”
2、周期性
(1)若f(x+a)=f(b+x),贝UT=|b-a|
(2)若f(x+a)=-f(b+x),则T=2|b-a|
(3)若f(x+a)=±1/f(x),贝UT=2a
(4)若f(x+a)=【1-f(x)】/【1+f(x)】,则T=2a
(5)若f(x+a)=【1+f(x)】/【1-f(x)】,则T=4a3、对称性
(1)若f(a+x)=f(b-x),贝Uf(x)的对称轴为x=(a+b)/2
(2)若f(a+x)=-f(b-x)+c,则f(x)的图像关于((a+b)/2,c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。
(1)若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,则f(x)必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a|。
(2)若f(x)的图像有两个对称中心(a,0)和(b,0),(a^b),则f(x)
必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a|
(3)
b,0),(a^b),
若f(x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心
则f(x)必定为周期函数,其中一个周期为4|b-a|
3、三角函数
正弦sin
余弦cos
十「十n
正切tan
余切cot
m
正割sec一
余割csc—
n
m
n
倒数关系:
丄1
1
1
tan
sin
cos
cot
csc
sec
商的关系:
sin丄
sec
cos丄
csc
tan
cot
cos
csc
sin
sec
平方关系:
・22
1
sincos
1tan21
1cot21
平常针对不同条件的两个常用公式:
.22.
sincos1
tan?
cot1
一个特殊公式:
sinsinsin-sinsinsin-
二倍角公式:
2sinA?
cosA
22cosA-sinA
2tanA
1-tan2A
半角公式:
sin2a11-cosa
22
2
a
1彳
cos
—
1cosa
2
2
tan
a
sina1
-cosa
2
1cosa
sina
cot
a
sina1
cosa
2
1-cosa
sina
三倍角公式:
sin3a
4sina?
sin—a?
sin—-a
33
cos3a4cosa?
cosa?
cos-a
33
tan3a
tana?
tan—
3
a?
tan-a
3
万能公式:
c丄a
2tan
2sina
2a
1tan2一
2
2a
1-tan—
2cosa
2a
1tan2—
2
~a
2tan
tana—
2a1-tan—
2
两角和公式:
sin
sin?
cos
cos?
sin
sin-
sin?
cos-cos
?
sin
cos
cos?
cos-
sin
?
sin
cos-
cos?
cos
sin
?
sin
tan
tantan
1-tan?
tan
tan-
tan-tan
1tan?
tan
和差化积公式:
sinsin2sin
1
1
cos-
-—
2
2
sin-sin2cos
1.1
sin-
22
coscos2cos
11
cos-
22
cos-cos-2sin
1.1
sin-
22
tanA
tanB
sinAB
tanAB
cosA?
cosB
1tanA?
tanB
tanA-
-tanB
sinA-B
tanA-B
cosA?
cosB
1tanA?
tanB
积化和差公式:
sin?
sin-cos
1
-cos-
2
cos?
coscos
1cos-
2
sin?
cossin
1sin-
2
口诀:
奇变偶不变,符号看象限
证明:
acoaAbsinA、a2b2sinAM,其中tanM—b
证:
设acosAbsinAx?
sinAM
acosAbsinAx-cosAbsinA
xx
22
由题,1,sinM—,cosM-
xxxx
xa2b2
原式得证
4、数学归纳法
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
例如:
前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是:
n2+n
最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个
表达式成立,这种方法由下面两步组成:
1递推的基础:
证明当n=1时表达式成立
2递推的依据:
证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立
(1)第一数学归纳法
1证明当n取第一个值no时命题成立,no对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况
2假设n=k(k>no,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立
(2)第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题P(n)
1验证n=no时P(n)成立
2假设no (3)倒推归纳法 1验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立 2假设P(k+1)成立,并在此基础上,推出P(n)成立 (4)螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题 1验证n=no时P(n)成立 2假设P(k(k>no)成立,能推出Q(k成立,假设Q(k成立,能推出P(k)成立。 5、初等函数的含义 概念: 初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。 【有理运算: 加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】 【基本初等函数: 对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三角函数】 6、二项式定理: 即二项展开式,即(a+b)n的展开式 abnCn0anCn1an-1? b...Cnkan-k? bk...Cnnbn 其中Cnk称为二次项系数 Cnkan-k? bk叫做二次项展开式的通项,它是第k1项,用Tki表示 7、高等数学中代换法运用技巧 1倒代换 把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被 称为“倒代换”法 2增量代换 若题目中已知x>m,则引入辅助元x=m+a(a>0),再将辅助元代入题中解题。 此种代换方法称为“增量代换法” 3三角代换 222222 xa、: ax、二xa 4双代换 n 严X lim飞: 引入两个辅助元进行代换 ny 8其他一些知识点 0是偶数,偶数分为: 正偶数、负偶数 (1)0不是正数,不是负数。 是自然数。 和0 (2)正偶数称为“双数” (3)正常数: 常数中的正数 1的自然数,如果除了1和它自身以外,最小的质(素)数是2。 1既 e为底的指数函数 inf表示下界 (4)质数: 又称“素数”。 一个大于 不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”不是素数,也不是合数。 (5)exp: 高等数学中,以自然对数 (6)在数学符号中,sup表示上界; (7)三: 表示恒等于 (8)0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为: n! =n(n-1)! 因为1的阶乘为1,即1! =1X0! ,故0! =1 【第二部分】函数与极限 常用结论(等价无穷小很重要) 1 n x 1 nx 1 1 1 1 xn x n xe 1 x XXv1时成立 X rX ln1 1-1 n n 1 v- e 其中, e为初等函数,又称“幕指函数” e即根据此公式得到, e~2.718 1二 n 12 22 12n1 6 13 23 a na 2 a 1-a a-1 -bn an-2b...bn-1 a-b m-1m-2小■ aa? b ...bm-1| n-1a 11 am-bm 若limu XX0 a>0,limvx XX0 ba、b为常数,则xmux 一些重要数列的极限: In1xx X e-1 aX-1xlna 1x-1 arcsinxx arctanxx 另一些重要的数列极限: lim n limqn0qV1为常数 limna1a>1 n n lim—0a为常数limVK1 nn! n x 0时,sinx x tanxx 1-cosx 12 —x 2 列举一些趋向于0的函数: 1q<1,qn0 2a>0,b>0,a0 n-c n 3a>1,*0 n 1 4丄0 Inn 柯西极限存在准则: 柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。 给出了极限收敛的充分必要条件是: 对于任意给定的正数£,存在这样的正整数N,使得当m>N,n>N时就有|xn-xm|<£。 这个准则的几何意义表示,数列{X}收敛的充分必要条件是: 该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。 夹逼定理的两个条件: ①左右极限存在;②左右极限相等 【极限计算的技巧总结(不包含教材介绍的方法以及公式): 】 (1)洛比达法则 设函数f(x)和F(x)满足下列条件: 1x—a时,limf(x)=O,limF(x)=O; 2在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; 3x—a时,lim(f(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x—a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F'(x)) (2)等价无穷小 「般要将变量的取值变为趋向于0的代数式,如x—x,令t=1/x 无穷小的概念: ①高阶无穷小: 当limA=0时,如果lim(B/A)=0就说B是比A高阶的无穷小 ②低阶无穷小: 当limA=0时,如果lim(B/A)=x,就
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