三角函数平面向量综合题八类型师_精品文档文档格式.doc
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第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果,利用二倍角公式求得tan的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果.
【解】 (Ⅰ)∵⊥,∴·
=0.而=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα-4cosα),
故·
=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.
由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得tanα=-,或tanα=.
∵α∈(,2π),tanα<0,故tanα=(舍去).∴tanα=-.
(Ⅱ)∵α∈(,2π),∴∈(,π).
由tanα=-,求得tan=-,tan=2(舍去).∴sin=,cos=-,
∴cos(+)=coscos-sinsin=-×
-×
=-
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
【例3】 已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),|-|=.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;
(Ⅱ)若-<β<0<α<,且sinβ=-,求sinα的值.
【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题;
而第(Ⅱ)小题则可变角α=(α-β)+β,然后就须求sin(α-β)与cosβ即可.
【解】 (Ⅰ)∵|-|=,∴2-2·
+2=,
将向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)代入上式得
12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12=,∴cos(α-β)=.
(Ⅱ)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π,
由cos(α-β)=-,得sin(α-β)=,
又sinβ=-,∴cosβ=,
∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=.
题型四:
结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】
(2010年高考安徽卷)已知,为的最小正周期,,求的值.
【解答】因为为的最小正周期,故.因为,
又,故.
由于,所以
.
【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入求值或化简。
练习1:
设函数f(x)=·
.其中向量=(m,cosx),=(1+sinx,1),x∈R,且f()=2.(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值.
分析:
利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”,从而,建立函数f(x)关系式,第(Ⅰ)小题直接利用条件f()=2可以求得,而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.
解:
(Ⅰ)f(x)=·
=m(1+sinx)+cosx,
由f()=2,得m(1+sin)+cos=2,解得m=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sinx+cosx+1=sin(x+)+1,
当sin(x+)=-1时,f(x)的最小值为1-.
题型五:
结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题
【例2】(2006年高考浙江卷)如图,函数(其中)的图像与轴交于点(0,1)。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设是图像上的最高点,M、N是图像与轴的交点,求与的夹角。
【解答】
(I)因为函数图像过点,
所以即
因为,所以.
(II)由函数及其图像,得
所以从而
,故.
【评析】此类问题的一般步骤是:
先利用向量的夹角公式:
求出被求角的三角函数值,再限定所求角的范围,最后根据反三角函数的基本运算,确定角的大小;
或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
题型六:
结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】
(山东卷)在中,角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若,且,求.
(1),,
又,解得:
,
,是锐角,.
(2),,,
又,,,
,.
【评析】根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化,列出等式求解。
题型七:
结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算
【例4】
(2007年高考陕西卷),其中向量,,,且函数的图象经过点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的最小值及此时值的集合。
(Ⅰ)
由已知,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
∴当时,的最小值为,
由,得值的集合为.
【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时,可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式,然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如,再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型八:
结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法
【例5】
(2007年高考湖北卷)将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
【解答】∵,∴平移后的解析式为
,选.
【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键,平移后的函数解析式为.
题型九:
结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题
【例6】
(2006年高考湖北卷)设向量,函数.
(Ⅰ)求函数的最大值与最小正周期;
(Ⅱ)求使不等式成立的的取值集.
(Ⅰ)∵
∴的最大值为,最小正周期是
(Ⅱ)要使成立,当且仅当,
即,
即成立的的取值集合是.
【评析】结合向量的坐标运算法则,求出函数的三角函数关系式,再根据三角公式对函数的三角恒等关系,然后借助基本三角函数的单调性,求简单三角不等式的解集。
【专题训练】
一、选择题
1.已知=(cos40°
,sin40°
),=(cos20°
,sin20°
),则·
= ()
A.1 B. C. D.
2.将函数y=2sin2x-的图象按向量(,)平移后得到图象对应的解析式是 ()
A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x
3.已知△ABC中,=,=,若·
<0,则△ABC是 ()
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形
4.设=(,sina),=(cosa,),且∥,则锐角a为 ()
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
5.已知=(sinθ,),=(1,),其中θ∈(π,),则一定有 ()
A.∥ B.⊥ C.与夹角为45°
D.||=||
6.已知向量=(6,-4),=(0,2),=+l,若C点在函数y=sinx的图象上,实数l= ()
A. B. C.- D.-
7.设0≤θ≤2π时,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),则向量长度的最大值是 ()
A. B. C.3 D.2
8.若向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),则与一定满足 ()
A.与的夹角等于a-b B.⊥
C.∥ D.(+)⊥(-)
9.已知向量=(cos25°
sin25°
),=(sin20°
cos20°
),若t是实数,且=+t,则||的最小值为 ()
A. B.1 C. D.
10.O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足:
=+l(+),l∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的 ()
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
二、填空题
11.已知向量=(sinq,2cosq),=(,-).若∥,则sin2q的值为____________.
12.已知在△OAB(O为原点)中,=(2cosa,2sina),=(5cosb,5sinb),若·
=-5,则S△AOB的值为_____________.
13.已知向量=(1,1)向量与向量夹角为,且·
=-1.则向量=__________.
三、解答题
14.已知向量=(sinA,cosA),=(,-1),·
=1,且为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
15.在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量=(1,2sinA),=(sinA,1+cosA),满足∥,b+c=a.(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sin(B+)的值.
16.△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,=(2b-c,a),=(cosA,-cosC),且⊥.
(Ⅱ)当y=2sin2B+sin(2B+)取最大值时,求角的大小.
17.已知=(cosx+sinx,sinx),=(cosx-sinx,2cosx),
(Ⅰ)求证:
向量与向量不可能平行;
(Ⅱ)若f(x)=·
,且x∈[-,]时,求函数f(x)的最大值及最小值.
18.设函数,其中向量,
(Ⅰ)求函数的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的.
19.已知向量.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)求的最大值.
【参考答案】
【专题训练】参考答案
1.B 解析:
由数量积的坐标表示知·
=cos40°
sin20°
+sin40°
cos20°
=sin60°
=.
2.D【解析】y=2sin2x-→y=2sin2(x+)-+,即y=-2sin2x.
3.A【解析】因为cos∠BAC==<0,∴∠BAC为钝角.
4.B【解析】由平行的充要条件得×
-sinacosa=0,sin2a=1,2a=90°
,a=45°
.
5.B【解析】·
=sinθ+|sinθ|,∵θ∈(π,),∴|sinθ|=-sinθ,∴·
=0,∴⊥.
6.A【解析】=+l=(6,-4+2l),代入y=sinx得,-4+2l=sin=1,解得l
7.C【解析】||==≤3.
8.D【解析】+=(cosa+cosb,sina+sinb),-=(cosa+cosb,sina-sinb),∴(+)·
(-)=
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