福建省三明市泰宁县大田中学高三数学理月考试题.docx
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福建省三明市泰宁县大田中学高三数学理月考试题
2018-2019福建省三明市泰宁县大田中学高三数学理月考试题
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.如图,由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形,各项点依次为,A1,A2,A3,…An则的值组成的集合为( )
A.{﹣2,﹣1,0,1,2}
B.
C.
D.
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型:
①小三角形边上的向量,②大三角形边上的向量,③大三角形中线向量,这样求出每种情况下的值,从而求得答案.
【解答】解:
对向量分成以下几种类型:
边长为1的小三角形边上的向量,只需找一个小三角形A1A2A4,它其它小三角形边上的向量相等;
大三角形A1A3A6边上的向量,和它的中线上的向量,所以有:
,,,,,,,,,,,,,,,;
∴所有值组成的集合为{1,﹣1,}.
故选:
D.
【点评】考查相等向量,相反向量的概念,向量数量积的计算公式,等边三角形中线的特点.
2.(改编)已知函数f(x)的图象如右图所示,则f(x)的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3.已知全集U=R,集合[
A、B、C、D、
参考答案:
B
略
4.
对于不重合的两条直线m,n和平面,下列命题中的真命题是 ( )
A.如果,m,n是异面直线,那么
B.如果,m,n是异面直线,那么
C.如果,m,n是异面直线,那么相交
D.如果,m,n共面,那么
参考答案:
答案:
B
5.设命题,则为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
试题分析:
由存在性命题的否定就是全称性命题可得,因此应选C.
考点:
含有一个量词的命题的否定.
6.已知函数在上是单调减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7.已知函数f(x)=3sin(2x﹣),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)在区间上(﹣,)是增函数
D.由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数f(x)的图象
参考答案:
C
【考点】正弦函数的图象;命题的真假判断与应用.
【专题】函数思想;转化法;三角函数的图像与性质.
【分析】A.根据三角函数的周期公式进行计算.
B.根据三角函数的对称性进行判断.
C.根据三角函数的单调性进行判断.
D.根据三角函数的图象关系进行判断.
【解答】解:
A.f(x)的最小正周期T==π,故A错误,
B.当x=时,f()=3sin(2×﹣)=3sin(π﹣)=3sin=≠±3,不是最值,故f(x)的图象关于直线x=不对称,故B错误,
C.当﹣<x<时,﹣<2x﹣<,则y=sinx在(﹣,)上单调递增函数,故C正确,
D.函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2(x﹣)=3sin(2x﹣),则不能得到函数f(x)的图象,故D错误,
故选:
C.
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.
8.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图像是( )
参考答案:
C
略
9.设函数,其中θ∈,则导数的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[,] C.[,2] D.[,2]
参考答案:
D
10.某人设计一项单人游戏,规则如下:
先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A.22种B.24种C.25种D.36种
参考答案:
C
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1,5,6;2,4,6;3,3,6;5,5,2;4,4,4,共有4种组合,前四种组合又可以排列出A33种结果,由此利用分类计数原理能得到结果.
【解答】解:
由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,
列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5;3,3,6;5,5,2;4,4,4;共有6种组合,
前三种组合1,5,6;2,4,6;3,4,5;又可以排列出A33=6种结果,
3,3,6;5,5,2;有6种结果,4,4,4;有1种结果.
根据分类计数原理知共有24+1=25种结果,
故选C.
【点评】排列与组合问题要区分开,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素.
二、填空题:
本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.已知tanα=3,则的值为 .
参考答案:
【考点】GH:
同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:
∵tanα=3,则==,
故答案为:
.
12.在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S= .
参考答案:
【考点】正弦定理.
【分析】用余弦定理求出边AC的值,再用面积公式求面积即可.
【解答】解:
据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA
即49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×(﹣),
即AC|2+5×|AC|﹣24=0解得|AC|=3
故△ABC的面积S=×5×3×sin120°=
故应填
13.设,,若,则实数 .
参考答案:
4
14.设数列的前项和为,令,称为数列的“理想数”,已知数列的“理想数”为101,那么数列的“理想数”为____________.
参考答案:
102
由数列
的“理想数”.
15. 已知的展开式中没有常数项,,则______.
参考答案:
答案:
5
解析:
本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。
依题对中,只有时,其展开式既不出现常数项,也不会出现与、乘积为常数的项。
16.设,过下列点分别作曲线的切线,其中存在三条直线与曲线相切的点是 .
参考答案:
CE
设切点坐标为,
则切线方程为,
设切线过点,
代入切线方程方程可得,
整理得,
令,
则,
过能作出三条直线与曲线相切的充要条件为:
方程有三个不等的实数根,
即函数有三个不同的零点,
故只需,分别把,
代入可以验证,只有符合条件,故答案为.
17.椭圆的一个焦点为F,点P在椭圆上,且(O为坐标原点)为等边三角形,则椭圆的离心率 .
参考答案:
答案:
三、解答题:
本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.(本小题满分12分)如图,已知正四棱柱的底面边长为3,侧棱长为4,连结,过作垂足为,且的延长线交于。
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的平面角的正切值。
参考答案:
解法二:
根据题意,建立空间直角坐标系如图2所示,则,,,,。
(1),,
又,平面。
(2)由
(1)知,平面,是平面的一个法向量。
又是平面的一个法向量。
,即即二面角的平面角的正切值为。
略
19.如图,在三棱锥中,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.(10分)
参考答案:
(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
试题分析:
(Ⅰ)证明线线垂直主要利用线面垂直求解,本题中首先证明平面;(Ⅱ)求三棱锥体积公式可知首先求得棱锥的底面积和高,代入求解
试题解析:
(1)证明:
取中点,连接、
在中:
为中点
在中,为中点
又,、
(2)方法一:
在中,,,是中点
在中,,,
又
方法二:
取中点,连接
由
(1)可知
又
在中,,,是中点1111]
在中,,,
为等腰三角形
又,
即为三棱锥的高
易得
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系
20.已知三棱柱,平面,,,四边形为正方形,分别为中点.
(Ⅰ)求证:
∥面;
(Ⅱ)求二面角——的余弦值.
参考答案:
解:
(Ⅰ)在中、分别是、的中点
∴∥ …………………………………………………………………3分
又∵平面,平面
∴∥平面 ………………………………………………………5分
(Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,,
∴, ………7分
平面的一个法向量…9分
设平面的一个法向量为
则即
取. ……………………………………………………………
略
21.(12分)在△ABC中,a、b、c为角A、B、C所对的三边,已知b2+c2﹣a2=bc.
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若,,求c的长.
参考答案:
【考点】:
余弦定理的应用;正弦定理的应用.
【专题】:
计算题;综合题.
【分析】:
(Ⅰ)把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值,进而求得A.
(Ⅱ)先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值,然后利用正弦定理求得b.
解:
(Ⅰ)b2+c2﹣a2=bc,
∵0<A<π∴
(Ⅱ)在△ABC中,,,
∴
由正弦定理知:
,
∴═.
∴b=
【点评】:
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了学生对这两个定理的熟练掌握.
22.已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,-1),若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|=|MB|,试求k的取值范围.
参考答案:
(1)∵x2-y2=1,∴c=. PF1|+|PF2|=a= b=1
∴P点的轨迹方程为+y2=1.
(2)设l:
y=kx+m(k≠0),则由, 将②代入①得:
(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0 (*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点Q(x0,y0)的坐标满足:
x0=
即Q(-) ∵|MA|=|MB|,∴M在AB的中垂线上,
∴klkAB=k·=-1,解得m=…③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0,
即(6km)2-4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ ,将③代入④得
12[1+3k2-()2]>0,解得-1<k<1,由k≠0,∴k的取值范围是k∈(-1,0)∪(0,1).
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