中考数学基础知识大串讲.docx
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中考数学基础知识大串讲
2010年中考数学基础知识大串讲
导读:
中考大串讲按照代数综合、几何综合、概率统计三大块共分成10个串讲专题.“考点串讲”部分是对所讲专题的重要考点的概括,“新题演练”部分是针对所讲专题重要考点的精例及解析,使您做题后,跳出题海,轻松应对中考,决胜中考!
串讲一数与式
考点串讲
1.实数.
考查重点:
(1)有理数、无理数、实数、非负数概念;
(2)相反数、倒数、数的绝对值概念;
(3)在已知中,以非负数a2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件,解决有关问题.
(4)考查实数的运算(有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用.)
2.整式与分式.
整式知识点:
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、因式分解.
整式考查重点:
(1)考查列代数式的能力;
(2)考查整数指数幂的运算、零指数.
(3)掌握并灵活运用提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)进行因式分解.
分式:
分式考查重点:
(1)考查整数指数幂的运算,零运算;
(2)考查分式的化简求值.
3.二次根式.式子(a≥0)叫做二次根式.
考查重点:
(1)了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质,会化简简单的二次根式,能根据指定字母的取值范围将二次根式化简;
(2)掌握二次根式的运算法则,能进行二次根式的加减乘除四则运算,会进行简单的分母有理化.
新题演练:
新题1:
在实数-,0,,-3.14,,,-0.1010010001…(每两个1之间依次多1个0),sin30°这8个实数中,无理数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
对实数分类,不能只为表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.首先明确无理数的概念,即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如=2是有理数,关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数.同样,用三角符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30°、tan45°等.而-0.1010010001…尽管有规律,但它是无限不循环小数,是无理数.是无理数,而不是分数.在上面所给的实数中,只有,,-0.1010010001…这三个数是无理数,其他五个数都是有理数,故选C.
答案:
C
新题2:
已知x、y是实数,且+(y2-6y+9)=0,若axy-3x=y,则实数a的值是()
A.B.-C.D.-
解析:
若几个非负数之和等于零,则每个非负数均等于零.这是非负数具有的一个重要性质.本题中∵和(y-3)2均为非负数,它们的和为零,只有3x+4=0,且y-3=0,由此可求得x,y的值,将其代入axy-3x=y中,即求得a的值.
答案:
+(y-3)2=0∴3x+4=0,y-3=0∴x=-,y=3.
∵axy-3x=y,∴-×3a-3×(-)=3∴a=∴选A
新题3:
若a,b,c是三角形三边的长,则代数式a2+b2-c2-2ab的值()
A.大于零B.小于零C.大于或等于零D.小于或等于零
解析:
本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题,把所给多项式的部分因式进行因式分解,再结合“a,b,c是三角形的三边”,应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法.
答案:
(1)∵a2+b2-c2-2ab=(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c),
又∵a,b,c是三角形三边的长.
∴a+c>b,a0,a-b-c<0
∴(a-b+c)(a-b-c)<0
即a2+b2-c2-2ab<0,故选B.
新题4:
先化简,然后请你任取一个合适的数作为x的值代入求值.
解析:
本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算,要注意运算顺序.先乘除后加减,有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.
.取值时要考虑分式的意义,即x≠±2.
答案:
原式=
(x只要不取±2均可)
取x=6,得原式=1
串讲二方程(组)与不等式(组)
考点串讲
1.一元一次方程.
知识点:
等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程.
考查重点:
掌握解一元一次方程的一般步骤,能熟练地解一元一次方程.
2.二元一次方程(组).
了解二元一次方程组及其解法,并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.
重点:
掌握消元思想,熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际问题.
难点:
图象法解二元一次方程组,数形结合思想.
3.一元二次方程.
知识点:
一元二次方程、解一元二次方程及其应用、一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系.
考查重点:
(1)了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式;
(2)会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程;
(3)能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题.
4.分式方程.
考查重点:
(1)会解分式方程,掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程;
(2)分式方程及其实际应用.
5.一元一次不等式(组).
知识点:
不等式概念,不等式基本性质,不等式的解集,解不等式,不等式组,不等式组的解集,解不等式组,一元一次不等式,一元一次不等式组,一元一次不等式组应用.
考查重点:
考查解一元一次不等式(组)的能力.
新题演练:
新题1:
已知关于x的方程的解是,则m的值是____________.
解析:
本题考查了一元一次方程解的意义.因是该方程的解,所以代入后方程仍然成立,即:
,解这个关于m的方程得m=2.
答案:
m=2
新题2:
若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解,则k的值为
A.B.C.D.
解析:
由方程组得2x=14k,y=-2k.代入,得14k-6k=6,解得k=.
答案:
B
新题3:
解方程:
解析:
根据方程的特点,灵活选用方法解方程.观察本题特点,可用配方法求解.
答案:
新题4:
解方程:
.
解析:
由分式方程的概念可知,此方程是分式方程,因此根据其特点应选择其方法是──去分母法,并且在解此方程时必须验根.去分母法解分式方程的具体做法是:
把方程的分母分解因式后,找出分母的最简公分母;然后将方程两边同乘以最简公分母,将分式方程化成整式方程.注意去分母时,不要漏乘;最后还要注意解分式方程必须验根,并掌握验根的方法.
答案:
解:
去分母得:
(x-2)2-(x2-4)=3.
-4x=-5.x=.
经检验,x=是原方程的解.
新题5:
解不等式组:
并在数轴上把解集表示出来.
解析:
一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同,不等式中含有分母,应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母,在去分母时不要漏乘没有分母的项,再作其他变形.注意:
①分数线兼有括号的作用,分母去掉后应将分子添上括号.同时,用分母去乘不等式各项时,不要漏乘不含分母的项;②不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变;③在数轴上表示不等式的解集,当解集是x时,不包括数轴上a这一点,则这一点用圆圈表示;当解集是x≤a或x≥a时,包括数轴上a这一点,则这一点用黑圆点表示;④解不等式(组)是中考中易考查的知识点,必须熟练掌握.
答案:
解:
解不等式
(1)得,解不等式
(2)得.
所以不等式组的解集为
新题6:
在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标.经测算:
甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天,需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱?
还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?
解析:
本题主要考查分式方程的应用,解题时要检验,先检验所求x的值是否是方程的解,再检验是否符合题意.
答案:
解:
(1)设乙队单独完成需天
根据题意,得
解这个方程,得=90
经检验,=90是原方程的解
∴乙队单独完成需90天
(2)设甲、乙合作完成需天,则有
解得(天)
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210(万元)
乙单独完成超过计划天数不符题意.
甲、乙合作完成需付工程款为36(3.5+2)=198(万元)
答:
在不超过计划天数的前提下,由甲、乙合作完成最省钱.
串讲三函数
考点串讲
1.函数基本概念.
知识点:
常量与变量、函数与自变量、函数表示方法.
考查重点:
(1)考查自变量的取值范围,重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围;
(2)函数自变量的取值范围.
2.一次函数.
知识点:
正比例函数及其图象、一次函数及其图象.
考查重点:
(1)考查正比例函数、一次函数的定义、性质;
(2)综合考查正比例、一次函数的图象;(3)考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式.
3.二次函数.
知识点:
二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向.
考查重点:
(1)考查二次函数的定义、性质;
(2)综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象;(3)考查用待定系数法求二次函数的解析式;(4)考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值;(5)考查代数与几何的综合能力,常作为专项压轴题.
4.反比例函数.
知识点:
反比例函数意义;反比例函数反比例函数图象;反比例函数性质;待定系数法确定函数解析式.
考查重点:
(1)确定反比例函数表达式;
(2)画反比例函数的图象;(3)用反比例函数解决某些实际问题.
新题演练:
新题1:
如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点,与轴相交于点轴于点,的面积为1,则的长为(保留根号).
解析:
本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系,即,由,且图象在第一象限内,所以,由得点A坐标为(1,2),而与x轴的交点坐标为(-1,0),所以AB=2,BC=2.由勾股定理得
答案:
新题2:
某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数,且时,;时,.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润恰好是500元,试确定销售单价是多少元?
解析:
(1)根据一次函数解析式的特征,直接根据题意列出二元一次方程组,就可以求出一次函数的解析式.
(2)在确定函数关系式时,特别注意自变量的取值范围,由本题中“试销期间销售单价不低于成本单价”得≥60,由“获利不得高于45%”得≤(1+45%)×60,即≤87,因此.对于求出二次函数的最值问题,同时要考虑在自变量的取值范围;(3)这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑,要注意的是求出的结果必须要在二次函数的自变量的取值范围内.注意:
在二次函数中通过求函数的最大(小)值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等,首先考虑利用二次函数y=ax2+bx+c当x=-时,y取最大(小)值来求,但当x=-不在自变量的取值范围时,可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值.
答案:
(1)根据题意得解得.
所求一次函数的表达式为.
(2),
抛物线的开口向下,当时,随的增大而增大,而,
当时,.
当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.
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