高考数学热点问题专题解析定值问题.docx
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高考数学热点问题专题解析定值问题
圆锥曲线中的定值问题
一、基础知识:
所谓定值问题,是指虽然圆锥曲线中的某些要素(通常可通过变量进行体现)有所变化,但在变化过程中,某个量的值保持不变即为定值。
1、常见定值问题的处理方法:
(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示
(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数。
2、定值问题的处理技巧:
(1)对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向。
(2)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢
(3)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算
二、典型例题:
例1:
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为,右焦点,双曲线的实轴为,为双曲线上一点(不同于),直线分别于直线交于两点
(1)求双曲线的方程
(2)试判断是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,请说明理由
解:
(1)由可得,且焦点在轴上
所以设双曲线方程为:
,则渐近线方程为
由解得:
双曲线方程为
(2)由
(1)可得:
,设
设,联立方程解得:
同理:
设,联立方程可得:
下面考虑计算的值
在双曲线上
所以为定值
例2:
已知椭圆的离心率为,且过点
(1)求椭圆方程
(2)设不过原点的直线,与该椭圆交于两点,直线的斜率依次为,且满足,试问:
当变化时,是否为定值?
若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由
解:
(1)由可得:
椭圆方程为代入可得:
解得:
椭圆方程为
(2)设,联立方程可得:
消去可得:
,整理可得:
依题意可知:
即①
由方程可得:
代入①可得:
,整理可得:
可知为定值,与的取值无关
例3:
已知椭圆经过点,,动点
(1)求椭圆标准方程
(2)设为椭圆的右焦点,过作的垂线与以为直径的圆交于点,求证:
的长为定值,并求出这个定值
解:
(1)由可得:
椭圆方程可转化为:
,将代入椭圆方程可得:
,解得:
椭圆方程为
(2)由
(1)可得:
思路一:
通过圆的性质可得,而(设垂足为),由双垂直可想到射影定理,从而,即可判定为定值
,设与相交于
则解得:
为圆的直径
由射影定理可得:
思路二:
本题也可从坐标入手,设,则只需证明为定值即可,通过条件寻找关系,一方面:
,可得;另一方面由点在圆上,可求出圆的方程,从而,展开后即可得到为定值
解:
设,则
的中点坐标为,
以为直径的圆方程为:
代入,可得:
即
例4:
已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点,斜率为的直线与椭圆交于两点,为坐标原点
(1)求椭圆的方程
(2)设,延长分别与椭圆交于两点,直线的斜率为,求证:
为定值
解:
(1),设
由可得:
(2)由
(1)可得,设
可得:
联立方程
同理,直线与椭圆交点的坐标为
设,代入可得:
例5:
已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上,为坐标原点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点,作圆的切线,切点分别为(不在坐标轴上),若直线的横纵截距分别为,求证:
为定值
解:
(1)依可知椭圆方程为代入解得:
椭圆方程为
(2)思路:
由
(1)可得:
,可设,由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦,所以,从而可得,所以,由椭圆方程可得,从而为定值
解:
由
(1)可得:
设可知是过作圆切线所产生的切点弦
设,由是切点可得:
,代入:
,
即,同理可知对于,有
因为在圆上
为直线上的点
因为两点唯一确定一条直线
,即
由截距式可知
在椭圆上
即为定值
(1)本题定值是通过整体代入的手段,即抓住最后的特点整体消去所得,所以在处理定值问题时,涉及的变量个数可以多,但是要有一定的条件保证能够消去。
(2)本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程,此时抓住两点所在方程“同构”的特点,从而确定直线方程
注:
切点弦方程:
过圆外一点作圆的切线,切点为,则切点弦的方程为:
例6:
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆,设为椭圆上任意一点。
过原点作圆的两条切线,分别交椭圆于
(1)若直线相互垂直,求的方程
(2)若直线斜率存在,并记为,求证:
是一个定值
(3)试问是否为定值?
若是,求出该值;若不是,请说明理由
解:
(1)由可得
,即
联立方程:
或或或
的方程为:
或或
或
(2)思路:
可设直线,均与圆相切,可得(其中)化简可得:
,可发现均满足此方程,从而为的两根。
则,再利用椭圆方程消元即可得到定值
解:
设
与相切
化简可得:
对于,同理可得:
为的两根
(3)思路:
设,,由第
(2)问所得结论,可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示,再判断是否为定值
解:
当不在坐标轴上时,设
同理可得:
若在坐标轴上(不妨设在轴)上,则
综上所述,为定值
例7:
已知椭圆,称圆心在原点,半径为的圆为椭圆的“准圆”,若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为
(1)求椭圆的方程及其“准圆”方程
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明
②求证:
线段的长为定值
解:
(1)依题意可得:
,
(2)①由
(1)可得,设切线方程为:
联立方程:
消去可得:
整理可得:
解得:
所以
②设
则,消去可得:
整理可得:
整理后可得:
同理,对于设切线的斜率为,则有:
在“准圆”上
所以为“准圆”的直径
为定值,
例8:
已知点在椭圆上,椭圆的左焦点为
(1)求椭圆的方程
(2)直线过点交椭圆于两点,是椭圆经过原点的弦,且,问是否存在正数,使得为定值?
若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。
解:
(1)由左焦点可得,由
,代入可得:
解得:
(2)思路:
由所求可联想到弦长公式,除了所求变量,直线的另一核心要素为斜率(假设存在),通过可联想到弦长公式,所以分别将直线的方程与椭圆方程联立,进而为关于的表达式,若为常数,则意味着与的取值无关,进而确定的值
设直线,,联立方程:
设,则
所以若是个常数,
也为的形式,即
此时,当直线斜率不存在时,可得符合题意
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