几何模块(教师版)Word文档格式.doc
- 文档编号:14429641
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOC
- 页数:19
- 大小:2.28MB
几何模块(教师版)Word文档格式.doc
《几何模块(教师版)Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《几何模块(教师版)Word文档格式.doc(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如左图
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图;
反之,如果,则可知直线平行于.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在中,分别是上的点如图⑴(或在的延长线上,在上),
则
板块三任意四边形模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①或者②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
板块四梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
①
②;
③的对应份数为.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.
板块五相似三角形模型
(一)金字塔模型
(二)沙漏模型
①;
②.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
模块六燕尾定理
在三角形中,,,相交于同一点,那么.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为和的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理:
如右图,是上任意一点,请你说明:
【解析】三角形与三角形同高,分别以、为底,
所以有;
三角形与三角形同高,;
三角形与三角形同高,,所以;
综上可得.
例题精讲
【例1】如图,长方形的面积是平方厘米,点、、分别是长方形边上的中点,为边上的任意一点,求阴影部分的面积.
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.
连接、.
∵,
∴.
同理,,,
∴(平方厘米).
【例2】长方形的面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积是多少?
【解析】解法一:
寻找可利用的条件,连接、,如下图:
可得:
、、,而
即;
而,.
所以阴影部分的面积是:
解法二:
特殊点法.找的特殊点,把点与点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是的面积,根据鸟头定理,则有:
【例3】已知的面积为平方厘米,,求的面积.
【解析】,
设份,则份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米
【例4】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形边长为6厘米,,.三角形的面积为_______平方厘米.
【解析】由题意知、,可得.根据”共角定理”可得,
;
而;
所以;
同理得,;
,,
故(平方厘米).
【例5】
(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
【分析】根据蝴蝶定理求得平方千米,公园四边形的面积是平方千米,所以人工湖的面积是平方千米
【例6】如图,平行四边形的对角线交于点,、、、的面积依次是2、4、4和6.求:
⑴求的面积;
⑵求的面积.
【解析】⑴根据题意可知,的面积为,那么和的面积都是,所以的面积为;
⑵由于的面积为8,的面积为6,所以的面积为,
根据蝴蝶定理,,所以,
那么.
【例7】如图,长方形中,,,三角形的面积为平方厘米,求长方形的面积.
【解析】连接,.
因为,,所以.
因为,,所以平方厘米,所以平方厘米.因为,所以长方形的面积是平方厘米.
【例8】
(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形的平行于,对角线,交于,已知与的面积分别为平方厘米与平方厘米,那么梯形的面积是________平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,,可得,再根据梯形蝴蝶定理,,所以(平方厘米).那么梯形的面积为(平方厘米).
【例9】如图面积为平方厘米的正方形中,是边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【解析】因为是边上的三等分点,所以,设份,根据梯形蝴蝶定理可以知道份,份,份,因此正方形的面积为份,,所以,所以平方厘米.
【例10】如图,在长方形中,厘米,厘米,,求阴影部分的面积.
【解析】方法一:
如图,连接,将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形的面积为平方厘米.
由于,根据梯形蝴蝶定理,,所以,而平方厘米,所以平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米.
方法二:
如图,连接,,由于,设份,根据梯形蝴蝶定理,份,份,份,因此份,份,而平方厘米,所以平方厘米
【例11】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形被、分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形的面积为___________平方厘米.
连接、.四边形为梯形,所以,又根据蝴蝶定理,,所以,所以(平方厘米),(平方厘米).那么长方形的面积为平方厘米,四边形的面积为(平方厘米).
【例12】如图,平行,若,那么________.
【解析】根据金字塔模型,,
设份,则份,份,所以.
【例13】如图,中,,,互相平行,,
则.
【解析】设份,根据面积比等于相似比的平方,
所以,,因此份,份,
进而有份,份,所以
【例14】如图:
平行,,,求的长度
【解析】在沙漏模型中,因为,所以,在金字塔模型中有:
,因为,,所以
【例15】
(年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图,四边形和都是平行四边形,四边形的面积是,,则四边形的面积________.
【解析】因为为平行四边形,所以,所以为平行四边形.
,那么,所以.
又,所以,根据沙漏模型,
,所以.
【例16】
(2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形的面积是,是的中点,点在上,且,与交于点.则四边形的面积等于.
连接,
根据燕尾定理,,,
设份,则份,份,份,如图所标
所以
连接,由题目条件可得到,
,所以,
,
而.所以则四边形的面积等于.
【例17】如图所示,在四边形中,,,四边形的面积是,那么平行四边形的面积为________.
【解析】连接,根据燕尾定理,,设,则其他图形面积,如图所标,所以.
【例18】(2009年清华附中入学测试题)如图,四边形是矩形,、分别是、上的点,且,,与相交于,若矩形的面积为,则与的面积之和为.
【解析】(法1)如图,过做的平行线交于,则,
所以,,即,
所以.
且,故,则.
所以两三角形面积之和为.
(法2)如上右图,连接、.
根据燕尾定理,,,
而,
所以,,,,
则,,
所以两个三角形的面积之和为15.
【例19】
(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形中,,且三角形的面积是,则三角形的面积为______,三角形的面积为________,三角形的面积为______.
【分析】连接、、.
由于,所以,故;
根据燕尾定理,,,所以
,则,;
那么;
同样分析可得,则,,所以,同样分析可得,
所以,.
【例20】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示,三个三角形的面积分别是,,,则阴影四边形的面积是多少?
遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算.
再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形.
设三角形为,和交于,则,再连结.
所以三角形的面积为3.设三角形的面积为,
则,所以,四边形的面积为.
设,根据燕尾定理,得到,再根据向右下飞的燕子,有,解得四边形的面积为
家庭作业作业检测
1.如图,三角形中,,,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形的面积是多少?
【解析】∵,∴,;
又∵,∴,(平方厘米).
2.(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图,在三角形中,已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89,28,26.那么三角形的面积是.
【解析】根据题意可知,,
所以,
那么,
故.
3.是长方形内一点,已知的面积是,的面积是,求的面积是多少?
【解析】由于是长方形,所以,而,所以,则,所以.
4.如图,,,,,.求.
【解析】本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的种情况.
最后求得的面积为.
5.如图,在中,已知、分别在边、上,与相交于,若、和的面积分别
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 几何 模块 教师版