《线段的垂直平分线的性质和判定》 第1课时 教案 探究版.docx
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《线段的垂直平分线的性质和判定》 第1课时 教案 探究版.docx
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《线段的垂直平分线的性质和判定》第1课时教案探究版
《线段的垂直平分线的性质和判定》(第1课时)教案探究版
教学目标
知识与技能:
1.探究线段垂直平分线的性质.
2.线段垂直平分线的判定.
过程与方法:
通过自主探索线段垂直平分线的性质;学会用性质解决实际问题的过程,逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力.
情感、态度:
1.学生在理解探索性质中,培养学生勇于探索的精神,树立积极思考,克服困难的信心.
2.在探究的过程中,更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,并使学生具有一些初步研究问题的能力.
教学重点:
1.线段垂直平分线的性质和判定.
2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.
教学难点
灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.
教学策略:
鼓励学生自主学习、积极探究思考.还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结.
教具准备:
多媒体课件
教学过程设计
一、情境导入(教师用多媒体演示)
如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
其中“到两个仓库的距离相等”,要强调这几个字在题中有很重要的作用.
线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们用折纸的方法,根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要求在“A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成.
进一步提问:
“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?
”
设计意图:
通过问题,让学生在解决问题的同时,回顾线段垂直平分线的性质.
二、探究新知
1.探究1
师:
多媒体展示下图,引导学生思考.
如下图.木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
学生活动:
1.学生用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,…,连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3,…,
2.作好图后,用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3,…,讨论发现什么样的规律.
探究结果:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,AP3=BP3,….
师:
能用我们已有的知识来证明这个结论吗?
学生讨论给出证明.教师请两位学生黑板板演,集体纠正,并多媒体展示正确答案.
证法1:
利用两个三角形全等.
如下图,在△APC和△BPC中,
证明:
∵l⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB.
又AC=CB,PC=PC,
∴△APC≌△BPC(SAS).
∴PA=PB.
用符号语言表示为:
∵CA=CB,l⊥AB,
∴PA=PB.
证法二:
利用轴对称性质.
由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线l对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.
定理:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
带着探究1的结论我们来看下面的问题.
2.探究2
如下图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?
为什么?
学生活动:
1.学生用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作l,在l上取点P1,P2,连接AP1,AP2,BP1,BP2.会有以下两种可能.
甲乙
2.讨论:
要使l与AB垂直,AP1,AP2,BP1,BP2应满足什么条件?
探究过程:
学生分组讨论,由代表举手发言,教师多媒体展示结论.
1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿l将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即l与AB不垂直.
2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿l将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即l与AB垂直.当AP2=BP2时,亦然.
探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在探究2图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保证射出箭的方向与木棒垂直.
师:
你能证明上面的结论吗?
学生讨论给出证明.学生黑板板演,教师多媒体展示证明过程,对比学生解答,纠正问题.
已知:
如图,PA=PB.
求证:
点P在线段AB的垂直平分线上.
证明:
过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.
在Rt△PCA和Rt△PCB中,
∵PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).
∴AC=BC.
又PC⊥AB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
用数学符号表示为:
∵PA=PB,
∴点P在AB的垂直平分线上.
判定定理:
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
师:
你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?
能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?
这些点能组成什么几何图形?
生:
在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在直线l上,所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.
设计意图:
通过学生动手操作,思考问题,猜测结论,培养了学生的直观猜测能力,教师通过层层设问引入,激发学生的探究欲望;同时通过小组讨论交流,培养学生的合作学习能力,让不会的同学问出来,让会的同学讲出来,达到共同提高的教学目的,也营造了宽松和谐的课堂气氛.
三、典例精讲
例.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:
直线AO垂直平分线段BC.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线,因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
师生共同完成:
证明:
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
设计意图:
应用线段垂直平分线的性质定理,在解答过程中,引导学生分析解决问题的方法.
四、课堂练习
1.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于______.
2.如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?
AB+BD与DE有什么关系?
3.如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
设计意图:
及时巩固所学知识,了解学生的学习效果,增强学生灵活运用知识的能力.
答案:
1.8.
2.解:
∵AD⊥BC,BD=DC,
∴AD是BC的垂直平分线.
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE.
∵AB=CE,BD=DC,
∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.
3.解:
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵MB=MC,
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
五、课堂小结
1.本节课学习了哪些内容?
2.线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的?
两者之间有什么关系?
3.如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线?
设计意图:
通过提出问题,使学生思考总结所学内容,培养学生归纳总结能力;通过对性质定理和判断定理的复习,使学生找出区别与联系,避免概念的混淆.
六、布置作业
1.如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP,∠BCP之角平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;(乙)作AC,BC之中垂线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确().
A.两人都正确B.两人都错误
C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
2.如图,在△ABC中,EF是AC的垂直平分线,AF=12,BF=3,则BC=__________.
3.如图,BD垂直平分CE,ED=3cm,△ABE的周长为11cm,则△ACE的周长为__________.
答案:
1.D.2.15.3.17cm.
七、课堂检测设计
1.三角形纸片上有一点P,量得PA=3cm,PB=3cm,则点P一定().
A.是边AB的中点B.在边AB的中线上
C.在边AB的高上D.在边AB的垂直平分线上
2.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为__________.
3.如图,△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.求△AEG的周长.
4.如图,已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD
的周长是14cm,求AB和AC的长.
答案:
1.D.解析:
点P到线段AB两个端点的距离相等,点P在线段AB的垂直平分线上.
2.6.解析:
由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,可知BE+BD-DE=12①,由△EDC的周长为24可知CE+CD+DE=24,由DE是BC边上的垂直平分线可知BE=CE,BD=CD,所以BE+BD+DE=24②,②-①,得2DE=12,所以DE=6.
3.解:
DE,GF分别是AB,AC的垂直平分线,
∴BE=AE,CG=AG.
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=7.
答:
△AEG的周长为7.
4.解析:
利用垂直平分线的性质,把相等的线段“集中”到一个三角形中.
解:
∵DE是BC的垂直平分线,
∴DB=DC.
∵AC+AD+CD=14cm,
∴AC+AD+DB=14,即AC+AB=14cm.
又∵AB-AC=2cm,设AB=xcm,AC=ycm,
根据题意得
解得
即AB长8cm,AC长6cm.
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