精品完整版球坐标系中拉普拉斯 方程的简单物理应用.docx
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精品完整版球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用
毕业论文
题目:
球坐标系中拉普拉斯
方程的简单物理应用
学号:
3100114512
姓名:
吴琦
教学院:
理学院
专业班级:
物理学2013级本科班
指导教师:
张压
完成时间:
2017年月日
教务处制
贵州工程应用技术学院毕业论文(设计)任务书
课题名称
球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用
学生姓名
吴琦
学号
3100114512
教学院
理学院
专业、班级
物理学2013级本科班
课题简介:
拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质,因此求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。
其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用,因此求解球坐标系中的拉普拉斯方程显得十分重要。
近年来,拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。
例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究,又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数,由此来分选出不同矿质的颗粒。
课题内容和任务:
根据数学物理方程中的三个稳定场方程导出拉普拉斯方程,写出不同坐标系中的拉普拉斯方程,并对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解。
通过应用球坐标系中拉普拉斯方程在导体球和双锥中的具体问题,结合计算机软件Mathematica的绘图,分析其物理意义。
通过翻阅书籍和查找网络资料等途径收集研究素材,对收集的素材进行研读,从而全面地、正确地掌握球坐标系中拉普拉斯方程的相关研究内容和研究方法,根据资料所提供的信息完成该课题的内容,最后撰写毕业论文。
进度计划:
2016.12.27—2017.02.21:
对选题进行研究;
2017.02.23—2017.03.13:
撰写论文,完成初稿;
发出日期
课题计划完成日期
指导教师签名
教学院院长签章
注:
本表一式一份,用于装订完整文本。
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本人郑重声明:
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如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况,本人愿承担全部责任。
论文(设计)作者:
(签字)时间:
年月日
指导教师:
(签字)时间:
年月日
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论文(设计)作者:
(签字)时间:
年月日
指导教师:
(签字)时间:
年月日
目录
摘要:
i
Abstract:
ii
引言1
1.拉普拉斯方程及其求解1
1.1拉普拉斯方程1
1.1.1引例1
1.1.2不同坐标系中的拉普拉斯方程3
1.2球坐标系中拉普拉斯方程的求解5
2.球坐标系中拉普拉斯方程的应用8
2.1导体球8
2.2双锥11
3.结论15
参考文献16
致谢17
球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用
作者姓名:
吕旖旎专业班级:
物理学2013级本科班
学号:
39261113102指导教师:
张凤玲
摘要:
本文首先通过数学物理方程中三个稳定场方程导出了拉普拉斯方程;其次,介绍了不同坐标系中的拉普拉斯方程;再次,对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解;最后,介绍了球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的简单应用。
关键词:
数学物理方程;球坐标系;拉普拉斯方程;物理应用
Laplaceequationinsphericalcoordinatesofsimplephysicalapplications
Candidate:
LvYi-niMajor:
Physics
StudentNo.:
39261113102Advisor:
ZhangFeng-ling
Abstract:
Firstly,theLaplaceequationwasderivedthroughthethreestablefieldequationsinmathematicalphysicsequations.Secondly,thispaperintroducedtheLaplaceequationindifferentcoordinatesystem.Thirdly,theLaplaceequationinsphericalcoordinateswassolved.Finally,thesimplephysicalapplicationsofLaplaceequationinsphericalcoordinateswereintroduced.
Keywords:
Mathematicalphysicsequations;Sphericalcoordinates;Laplaceequation;Physicalapplication
引言
1784~1785年,拉普拉斯求得天体对其外面任一个质点的引力分量可以用一个势函数表示,这个势函数满足一个偏微分方程[1]。
这个偏微分方程就是著名的拉普拉斯方程[2,3]。
本文首先通过数学物理方程中的稳定场方程[4],发现将三类稳定场方程:
浓度分布方程、温度分布方程和势场分布方程导出都得到同一个方程,即拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程与时间无关,是关于空间的偏微分方程。
在数学物理方程中,拉普拉斯方程有许多不同的形式:
有三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程、柱坐标系中的拉普拉斯方程、极坐标系中的拉普拉斯方程,另外常用的还有球坐标系中的拉普拉斯方程。
通过介绍几种拉普拉斯方程在不同坐标系中的形式,说明在不同的问题中应该选择恰当的坐标系才能使变量的分离[5]和问题能够变得容易解决。
拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质,因此求解拉普拉斯方程是电磁学[6]、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。
其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用,因此着重对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解[7,8],从而得到其通解表达式。
近年来,拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。
例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究[9,10],又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数,由此可以分选出不同矿质的颗粒[11]。
本文通过列举几个球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的具体问题,运用之前求出的通解再加上具体问题中的特解[12],结合计算机软件Mathematica[13,14]的编程计算,将问题的解用图像展现出来。
从而,可以更进一步地理解其中的物理意义。
1.拉普拉斯方程及其求解
1.1拉普拉斯方程
1.1.1引例
按照常见的典型物理过程,可以把数学物理方程分为三类:
波动方程、输出方程和稳定场方程。
其中,稳定场方程[4]是指所研究的各种物理现象处于稳定状态时所满足的偏微分方程,它描述一种物理的平衡状态。
1.稳定的浓度分布方程(这样的标记法易与标题混淆,以下相同问题请自行修改)
当在扩散运动中,最终浓度的空间分布不再随时间变化,达到稳定状态
则可以得到稳定的浓度分布方程为:
(1)
(1)式称为泊松方程。
如果没有源,式
(1)可以化为:
(2)
(2)式即为拉普拉斯方程。
2.稳定的温度分布方程
当在热传导方程中物体的温度处于某种稳定状态,温度与时间无关。
此时,
可得到稳定的温度分布方程为:
与
(1)式相同。
如果没有源,上式可以简化为:
即为
(2)式。
3.稳定的势场分布方程
在静止的情况下,电场与磁场无关,其中麦克斯韦方程组的电场部分为:
上述这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。
其中第一个方程表示静电场的无旋性,第二个方程表示自由电荷分布是电位移的源。
根据静电场的无旋性,我们可以引入标势来描述静电场。
电场强度等于电势的负梯度,由此我们可以得到电场强度与电势之间的关系为:
(3)
在均匀各向同性线性介质中,有:
(4)
于是我们就可以得到:
(5)
(5)式即为静电势所满足的基本微分方程,与
(1)式一样称为泊松方程。
当需要求解的区域内部没有电荷分布时,那么可以得到更为简单的方程:
(6)
(6)式这个方程也被称为拉普拉斯方程[2,3]。
1.1.2不同坐标系中的拉普拉斯方程
1.直角坐标系中的拉普拉斯方程
如图1所示,矩形薄片的一边,处绝热,另一边温度为零度,处保持温度满足函数,求该薄片内稳定的温度分布。
图1二维场中的矩形薄片
先不考虑边界条件,这个问题就可以用以下方程表示:
(7)
(7)式即为二维下直角坐标系中的拉普拉斯方程。
另外,三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程为:
(8)
2.极坐标系中的拉普拉斯方程
如果前面所提及的薄片不是矩形的,而是一个半径为的薄圆盘,如图2所示:
上下两面绝热,已知圆盘边缘的温度,求圆盘上稳定的温度分布。
图2二维场中的薄圆盘
注意到边界条件为,其中为圆盘的半径。
对边界条件进行变量分离,若选用直角坐标系,即。
令,可知边界条件不能分离出来。
但若选用极坐标系,即,令,就可以很容易得到周期性边界条件和有界性自然边界条件,从而问题就变得容易求解。
极坐标系中的拉普拉斯方程为:
(9)
3.球坐标系中的拉普拉斯方程
如图3所示:
一个内径为和外径为的导体球壳,所带电荷为,同心地包围着一个半径为的导体球。
求空间各点的电势和导体球的感应电荷。
图3三维场中的导体球壳
对于这一问题,对边界条件进行分离变量[5]。
如果还是选用直角坐标系,边界条件仍然不能分离出来。
但如果选用球坐标系,即。
可以令,那么就可以进行分离变量,从而问题就可以求解。
球坐标系中拉普拉斯方程表示为:
(10)
由此可见,在用分离变量法解拉普拉斯方程[4]时,应该选择恰当的坐标系使变量的分离和问题能够变得容易解决。
选择坐标系时应考虑使所讨论的边界尽量与一个或者几个坐标重合,这样能使问题变得易于求解。
如果边界面是矩形区域,就应该选择直角坐标系。
但如果边界面是半径为的球面时,就应该选择球坐标,使得边界与坐标面重合。
又如边界面是圆锥面(生成角为),仍应该选择球坐标,使边界面与坐标面重合。
在许多物理问题中,尤其是静电场问题,会遇到如导体球壳、介质球等球状模型。
此时球坐标系中的拉普拉斯方程就显得十分重要。
下面就来求解一下球坐标系中拉普拉斯方程[7,8]。
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