高考学年数学高考二轮复习专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题案文科文档格式.docx

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2.（2017·

全国Ⅰ卷）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：

l过定点.

（1）解　由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.

又由＋>

＋知，椭圆C不经过点P1，

所以点P2在椭圆C上.

因此解得

故C的方程为＋y2＝1.

（2）证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.

如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.

设l：

x＝m，A（m，yA），B（m，－yA），

k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2，

此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.

从而可设l：

y＝kx＋m（m≠1）.

将y＝kx＋m代入＋y2＝1得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由题设可知Δ＝16（4k2－m2＋1）>

0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.

则k1＋k2＝＋＝＋

＝.

由题设k1＋k2＝－1，

故（2k＋1）x1x2＋（m－1）（x1＋x2）＝0.

∴（2k＋1）·

＋（m－1）·

＝0.

解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32（m＋1）>

0，方程有解，

∴当且仅当m>

－1时，Δ>

∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k（x－2）.

当x＝2时，y＝－1，所以l过定点（2，－1）.

考点整合

1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题（以所求式子或参数为函数值），或者利用式子的几何意义求解.

温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.

2.定点、定值问题

（1）定点问题：

在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.

若得到了直线方程的点斜式：

y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；

若得到了直线方程的斜截式：

y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）.

（2）定值问题：

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.

3.存在性问题的解题步骤：

（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）.

（2）解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在.

（3）得出结论.

热点一　圆锥曲线中的最值、范围

【例1】　（2016·

浙江卷）如图所示，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

（1）求p的值；

（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.

解　

（1）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，

由抛物线的定义得＝1，即p＝2.

（2）由

（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1，0），

可设A（t2，2t），t≠0，t≠±

1.

∵AF不垂直于y轴，可设直线AF：

x＝sy＋1（s≠0），

由消去x得y2－4sy－4＝0.

故yAyB＝－4，∴B.

又直线AB的斜率为，

故直线FN的斜率为－，

从而得直线FN：

y＝－（x－1），直线BN：

y＝－.

∴N.

设M（m，0），由A，M，N三点共线得＝，

于是m＝＝2＋，∴m＜0或m＞2.

经检验知，m＜0或m＞2满足题意.

综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）.

探究提高　求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：

（1）几何法：

若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.

（2）代数法：

若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.

【训练1】已知点A（0，－2），椭圆E：

0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

解　

（1）设F（c，0），由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

（2）当l⊥x轴时不合题意，

故设l：

y＝kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

将y＝kx－2代入＋y2＝1，

得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16（4k2－3）>

即k2>

时，x1，2＝.

从而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝.

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·

|PQ|＝.

设＝t，则t>

0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±

时等号成立，且满足Δ>

0.

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

热点二　定点、定值问题

命题角度1　圆锥曲线中的定值

【例2－1】　（2016·

北京卷）已知椭圆C：

＋＝1过点A（2，0），B（0，1）两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：

四边形ABNM的面积为定值.

（1）解　由题意知a＝2，b＝1.

所以椭圆方程为＋y2＝1，

又c＝＝.

所以椭圆离心率e＝＝.

（2）证明　设P点坐标为（x0，y0）（x0＜0，y0＜0），

则x＋4y＝4，

由B点坐标（0，1）得直线PB方程为：

y－1＝（x－0），

令y＝0，得xN＝，

从而|AN|＝2－xN＝2＋，

由A点坐标（2，0）得直线PA方程为y－0＝（x－2），

令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，

所以S四边形ABNM＝|AN|·

|BM|

＝

＝＝2.

即四边形ABNM的面积为定值2.

探究提高　1.求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.

【训练2】（2017·

唐山一模）已知椭圆C：

0）的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值.

（1）解　∵椭圆＋＝1（a>

0）的离心率为，

∴e2＝＝＝，得a2＝2b2，①

又点Q在椭圆C上，

∴＋＝1，②

联立①、②得a2＝8，且b2＝4.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）证明　当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为x＝或x＝－，从而有|PN|＝2，

所以S＝|PN|·

|OM|＝×

2×

2＝2；

当直线PN的斜率k存在时，

设直线PN方程为y＝kx＋m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2），

将PN的方程代入椭圆C的方程，

整理得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

所以x1＋x2＝，x1·

x2＝，

y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝，

由＝＋，得M.

将M点坐标代入椭圆C方程得m2＝1＋2k2.

又点O到直线PN的距离为d＝，

|PN|＝|x1－x2|，

∴S＝d·

|PN|＝|m|·

|x1－x2|＝·

综上，平行四边形OPMN的面积S为定值2.

命题角度2　圆锥曲线中的定点问题

【例2－2】　（2017·

哈尔滨模拟）已知两点A（－，0），B（，0），动点P在y轴上的投影是Q，且2·

＝||2.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：

直线E1E2恒过定点.

（1）解　设点P坐标为（x，y），∴点Q坐标为（0，y）.

∵2·

＝||2，

∴2[（－－x）（－x）＋y2]＝x2，

化简得点P的轨迹方程为＋＝1.

（2）证明　当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：

y＝k（x－1），G（x1，y1），H（x2，y2），lMN：

y＝－（x－1），M（x3，y3），N（x4，y4），

联立

消去y得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－4＝0.

则Δ>

0恒成立.

∴x1＋x2＝，且x1x2＝.

∴GH中点E1坐标为，

同理，MN中点E2坐标为，

∴kE1E2＝，

∴lE1E2的方程为y＝，∴过点，

当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y＝0，也过点，综上所述，lE1E2过定点.

探究提高　1.动直线l过定点问题.设动直线方程（斜率存在）为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k（x＋m），故动直线过定点（－m，0）

2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.

【训练3】（2017·

菏泽调研）已知焦距为2的椭圆C：

0）的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形.

（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：

点G是定点.

（1）解　设坐标原点为O，

∵四边形ABPQ是平行四边形，∴||＝||，

∵||＝2||，∴||＝2||，则点B的横坐标为，

∴点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b2＝2，

又c2＝2，∴a2＝4，即椭圆C的方程为＋＝1.

（2）证明　设直线MN的方程为y＝k（x＋2），N（x0，y0），DA⊥AM，∴D（2，4k）.

由消去y得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－4＝0，

则－2x0＝，即x0＝，

∴y0＝k（x0＋2）＝，则N，

设G（t，0），则t≠－2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DG⊥AN，∴·

＝0恒成立.

∵＝（2－t，4k），＝，

∴·

＝（2－t）·

＋4k·

＝0恒成立，

即＝0恒成立，

∴t＝0，∴点G是定点（0，0）.

热点三　圆锥曲线中的存在性问题

【例3】　（2017·

长沙调研）已知椭圆C：

0）的离心率为，且过点P，F为其右焦点.

（2）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？

若存在，试求直线l的方程；

若不存在，请说明理由