最新高考届高考数学向量与解析几何复习 精品Word格式.docx
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而、都可以用α、β的三角函数表示,利用①可以解得:
=
2.已知:
过点A(0,1)且方向向量为=(1,k)的直线l与⊙C:
相交与M、N两点。
(1)求实数k的取值范围;
(2)求证:
·
为定值;
(3)若O为坐标原点,且·
=12,求k的值。
【解】∵直线l过点A(0,1)且方向向量为=(1,k)
∴直线l的方程为:
y=kx+1(注意:
这里已知方向向量即已知直线的斜率)
将其代入⊙C:
,得:
①
由题意:
△=得:
这里用了直线和方程组成方程组,方程有两根;
本题还可以用圆与直线有两个交点,d<
R来解)
(2)利用切割线定理可以证明||·
||=||=7,AT为切线,T为切点。
根据向量的运算:
=||·
||·
cos00=7为定值。
本题也可以设出M()、N()的坐标,把、用坐标表示,由①利用韦达定理来证明)
(3)设M(),N(),则由①得:
∴·
=+=
==12k=1(代入①检验符合题意)
3.已知:
O为坐标原点,点F、T、M、P1满足=(1,0),=(-1,t),=,
⊥,∥。
(1)当t变化时,求点P1的轨迹方程;
(2)若P2是轨迹上不同与P1的另一点,且垂直非零实数λ,使得=λ·
求证:
+=1
【解】设P1(x,y),则由:
=得M是线段FT的中点,得M
∴=(-x,-y),
又∵=-=(-2,t),=(-1-x,t-y)
∵⊥∴2x+t(-y)=0①
∵∥∴(-1-x)·
0+(t-y)·
1=0化简得:
t=y②
由①、②得:
(注意:
①这里用了参数方程的思想求轨迹方程;
②也可以利用向量的几何意义,利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线,从而求解。
)
(2)易知F(1,0)是抛物线的焦点,由=λ·
,
得F、P1、P2三点共线,即直线P1P2为过焦点F的弦
设P1()、P2(),直线P1P2的方程为:
y=k(x-1)代入得:
则·
=1,+=
∴+=+==1
①这里利用抛物线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离;
②利用了韦达定理进行证明。
经检验:
当斜率k不存在时,结论也成立。
4..已知=,(O为坐标原点),=1,且与的夹角为600,A、O、B顺时针排列,点E、F满足=λ,=,点G满足=
(1)当λ变化时,求点G的轨迹方程;
(2)求的最小值。
【解】∵=,∴点G是EF的中点,
∴=(+)=(λ+)
∵与的夹角为600,||=2,
cos600=1
设=(),则或(不合,舍)
==
设G(x,y),则消去λ得:
(2)=≥×
(4+2)=
∴的最小值为(当λ=时等号成立)
5.如图,点F(a,0)(a>
0),点P在y轴上运动,点M在x轴上运动,点N为动点,且·
=0,+
(1)求点N的轨迹C;
(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点,设点K(-a,0),与的夹角为θ,求证0<
θ<
.
(1)设点P(0,p),M(m,0),则=(m,-p),=(a,-p)
=0∴∴
设N(x,y),由+得
∴即消去p得:
(2)设AB的方程为:
y=k(x-a),代入得:
设A()、B(),则:
=(+a,)=(+a,)
=·
()
=>
与的夹角为θ,与不共线,则θ≠0
∵cosθ=>
0∴0<
6.设平面内向量=(x,0)、=(1,y),满足:
(+)⊥(-)
(1)求点P(x,y)的轨迹方程;
(2)若直线l:
y=kx+m(km≠0)与所求曲线C交于A、B两点,D(0,-1)且=,求m的取值范围。
(1)∵(+)⊥(-)∴(+)·
(-)=0
∴-=0∴
即为所求曲线的轨迹方程。
(2)设A()、B(),
由得:
①
则②∵,
∵=∴=
即:
∴把②代入,解得m=③
由①得:
△==12()>
把③代入化简得:
>
0m>
4或m<
又∵m=(k≠0)
∴0>
m或m>
4为所求的m的取值范围。
7.已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在直线PQ上,且·
=0,=-
(1)当P在y轴上移动时,求点M的轨迹方程;
(2)过点T(-1,0)作直线l交轨迹C与A、B两点,若在x轴上垂直一点E,使=,且与的夹角为600,求的值
【解】设M(x,y),由=-得P()、Q()
由·
=0得:
∵点Q在x轴正半轴上,∴x>
即所求的轨迹方程为:
(x>
0)(抛物线去掉顶点)
(2)设直线l:
y=k(x+1)(k≠0),代入得:
设A()、B(),则
①∴线段AB的中点坐标为()
线段AB的垂直平分线方程为:
(x-)②
在②中,令y=0,得③(与x轴的交点)
∵=,且与的夹角为600,∴△ABE为等边三角形
∴点E到直线AB的距离为|AB|
而|AB|=∴
解得:
代入③从而
8.在坐标平面内,设O是坐标原点,=,=,点A满足+=(-4,-2),点集S={P|P为平面内的点且满足条件:
|PF1|-|PF2|=2}
(1)求点A的坐标;
(2)若P1、P2∈S,且∥,又点Q满足=-·
求点Q的轨迹方程。
【解】设A,则=,=
∴+==(-4,-2)
∴,即A(2,1)
(2)由|PF1|-|PF2|=2得点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的一支
(即集合S所表示的图形)其方程为:
∵P1、P2∈S,∴P1、P2都在双曲线上。
∵∥,即点A、P1、P2三点共线
又∵=-·
知:
Q是线段P1P2的中点。
问题转化为:
过点A作直线交双曲线与P1、P2两点,求P1P2的中点Q的轨迹方程。
按求弦的中点的轨迹方法可得;
9.如图,抛物线上有两点A()、B(),且·
=0,又=(0,-2),
(1)求证:
∥
(2)若=-2·
求AB所在直线方程。
【解】由题意得:
A()、B()∵·
=0,
∴()∴
=(),=()
()-·
=(-)·
(·
+2)=0
∴∥即:
∥
【解题回顾】①本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法。
②本题的实质是课本上一道题的改编,原题为:
过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB,与抛物线交于A、B两点,求证AB必过定点(定点为AB与x轴的交点)
(2)∵=-2·
∴∴∴
∴B为或,得或-
∴AB的方程为:
y=±
x-2
10.直线l过点(1,0),且方向向量=(2,-2),直线m过原点O,其方向向量为=(1,k),且·
=1,中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E与直线l相交于A、B两点,点M满足+=,直线m过点M,椭圆E上存在一点N,与椭圆的右焦点关于直线l对称,求椭圆E的方程。
【答案】
思考题:
1.已知椭圆(a>
b>
0)的右焦点为F,直线l经过点E(),直线l的方向向量为=(0,1),其中c=,A、B为椭圆上的两点,且=λ·
(λ<
0),点C在l上,且∥。
线段EF的中点为N,求证:
2.已知,(n∈R),||的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:
①(a>
c>
0);
②(其中
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1)。
(1)求c的值;
(2)求曲线C的方程;
(3)是否存在方向向量=(1,k)(k≠0)的直线L,使L与曲线C交于两个不同的点M、N,且?
若存在,求出k的取值范围;
若不存在,请说明理由。
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