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(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:
(1)在一次函数上的任意一点p(x,y),都满足等式:
y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是
(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>
0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<
0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>
0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<
0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=o时,直线通过原点o(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>
0时,直线只通过一、三象限;
0时,直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式:
已知点a(xl,yl);
b(x2,y2),请确定过点a、b的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+bo
(2)因为在一次函数上的任意一点p(x,y),都满
足等式y=kx+bo所以可以列出2个方程:
yl=kxl+b①
和y2=kx2+b②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:
1.当时间t一定,距离S是速度V的一次函数。
s=vto
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量s。
g=s-ft。
六、常用公式:
(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:
(yl-y2)/(xl-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:
|xl-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:
|yl-y2|/2
4.求任意线段的长:
7(xl-x2)+(yl-y2)(注:
根号下(xl-x2)与(yl-y2)的平方和)
二次函数
i.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax+bx+c
(a,b,c为常数,a#0,且a决定函数的开口方向,a〉0时,开口方向向上,aO时,y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到,
当h0,k>
0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,
当h〉O,kO时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向
上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;
当hO时,开口向上,当aO,当xS-b/2a时,y随x的增大而减小;
当X>
-b/2a时,y随X的增大而增大.若aO,图象与x轴交于两点a(x,0)和b(x,0),其中的xl,x2是一元二次方程ax+bx+c=
(a^O)的两根.这两点间的距离ab=|x-x|
当△=().图象与X轴只有一个交点;
当△()时,图象落在X轴的上方,X为任何实数时,都有y>
0;
当a0(a<
0),则当x二-b/2a时,y最小(大)值
=(4ac-b)/4a・
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y
的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax□+bx+c(afO)・
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可
设解析式为顶点式:
y=a(x-h)Q+k(a^O).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(x-x)(x-x)(a*O).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
反比例函数
形如y=k/x(k为常数且洋0)的函数,叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为丨kIo
如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
当kVO时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为IkI。
2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±
m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)
对数函数
对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1,0)这点。
(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;
a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1,则指数函数单调递增;
a小于1大于0,则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=l是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性
注图:
(1)为奇函数
(2)为偶函数
1.定义
一般地,对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(・x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域
而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个
函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:
判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征:
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数
的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)f(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
3•奇偶函数运算
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.定义域
(高中函数定义)设a,b是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
a-b为集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x属于集合ao其中,x叫作自变量,x的取值范围a叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;
(2)图象法(数形结合),
(3)函数单调性法,
(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),
(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。
然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬'
一手'
嗽”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
也就是说:
“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。
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