河北省石家庄市届高三摸底考试理数试题 Word版Word格式文档下载.docx
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2.复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
1.复数的运算;
2.复数相关的概念.
3.设,则“是“直线与直线平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
1.两条直线的位置关系;
2.充分条件与必要条件.
4.下列函数中为偶函数又在上是增函数的是
【答案】B
由函数的奇偶性定义可知,选项C,D为非奇非偶函数,排除C、D,选项A中,在区间上是减函数,故选B.
函数的奇偶性与单调性.
5.执行右图的程序框图,如果输入,那么输出的的值为
A.4B.3
C.2D.1
模拟算法:
开始:
输入,,,是;
,,是;
,,否,输出;
故选A.
程序框图.
6.将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,所得函数图像的一个对称中心为
1.函数的伸缩变换与平移变换;
2.三角函数的图象与性质.
7.已知满足约束条件,则下列目标函数中,在点处取得最大值的是
在直角坐标系内作出可行域如下图所示,由线性规划知识可知,目标函数与均是在点处取得最大值,目标函数在点处取得最大值,目标函数在点处取得最大值,故选D.
线性规划.
8.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为
导数与函数的单调性.
9.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
1.三视图;
2.旋转体的表面积与体积.
10.如图所示,在一个边长为1的正方形A0BC内,曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是
1.积分的运算与几何意义;
2.几何概型.
【名师点晴】本题主要考查的是积分的运算与几何意义、几何概型,属于中档题.解几何概型的试题,一般先求出实验的基本事件构成的区域长度(面积或体积),再求出事件构成的区域长度(面积或体积),最后代入几何概型的概率公式即可.解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式,即若(、),则,几何概型的概率公式.
11.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
因为,所以可设,由可知,由双曲线定义有,,,两式相加得,即.所以,,所以,所以,由勾股定理得,所以,所以双曲线的离心率,故选B.
1.双曲线的定义、标准方程与几何性质;
2.直线与双曲线的位置关系.
【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系;
属中档题;
双曲线的定义在解题中有重要的作用,如本题中就利用定义列出两个等式,由这两个等式解方程组得到相应的比例关系,就可求双曲线的离心率.
12.已知定义在上的函数,满足;
(其中是
的导函数,是自然对数的底数),则的范围为
1.导数与函数的单调性;
2.构造法的应用.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性以及构造法,属难题;
联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了.
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
2、填空题:
(本大题共4各小题,每小题5分,共20分)
13.在的展开式中的系数是_______.
【答案】
二项式定理.
14.设向量,,且,则________.
因为,所以,即,所以,,故应填.
1.向量的数量积与垂直的关系;
2.向量的运算.
15.正项等比数列满足:
,若存在,使得,则的最小值为______.
或,又,所以,,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.
1.等比数列的定义与性质;
2.基本不等式.
【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式,属中档题;
利用基本不等式求最值时,应明确:
1.和为定值,积有最大值,但要注意两数均为正数且能取到等号;
2.积为定值和有最小值,直接利用不等式求解,但要注意不等式成立的条件.
16.在直三棱柱中,,,则直三棱柱内切球的表面积的最大值为___.
1.球的切接问题;
2.球的表面积与体积;
3.基本不等式.
【名曰点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式以及不等式等知识,属中档题;
与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题,或者通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图,把空间问题转化为平面问题进行求解.
3、解答题(本大题共6小题,满分70分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.(本小题满分10分)
中,内角的对边分别为,.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,,求的面积.
(1);
(2).
(1)由三角形内角和定理得,从而将条件转化为,利用三角恒等变换公式得,从而求得;
(2)由余弦定理列出方程可求出边的值,即可求三角形面积.
1.三角形的恒等变换;
2.正弦定理与余弦定理.
【名师点睛】本题考查三角恒等变换与正、余弦定理,中档题;
解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;
如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
18.(本小题满分12分)
已知:
等差数列满足,前3项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
(2)令……………8分
…………10分
…………12分
1.等差数列的通项公式与性质;
2.裂项相消法求和.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法求和,属中档题;
求解数列相关问题最基本方法就是基本量法,即在等差数列中,用表示已知条件,在等比数列中,用表示已知条件,列出方程组,解方程组即可;
数列求和常用方法有:
公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和、倒序相加法等.
19.(本小题满分12分)
我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水尤为突出.某市为了制定合理的节水方案,从该市随机调查了100位居民,获得了他们某月的用水量,整理得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中的值并估计样本的众数;
(Ⅱ)设该市计划对居民生活用水试行阶梯水价,即每位居民用水量不超过吨的按2元/吨收费,超过吨不超过2吨的部分按4元/吨收费,超过2吨的部分按照10元/吨收费.
①用样本估计总体,为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨,至少定为多少?
②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当时,估计该市居民该月的人均水费.
(1),众数为;
(2);
元.
(2×
2+0.5×
4)×
0.26=1.56
当居民月用水量在(2.5,3]时,居民该月的人均水费为:
(2×
2+1×
0.13=1.04
当居民月用水量在(3,3.5]时,居民该月的人均水费为:
2+1.5×
0.06=0.6
当居民月用水量在(3.5,4]时,居民该月的人均水费为:
2+2×
0.04=0.48………………………9分
当居民月用水量在(4,4.5]时,居民该月的人均水费为:
4+0.5×
10)×
0.02=0.34…………………………………10分
居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元.……………………12分
1.频率分布直方图;
2.用样本估计总体.
20.(本小题满分12分)
如图,四边形是边长为2的菱形,,E,F分别为的中点,将沿折起,使得.
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(1)见解析;
(2).
方法②由已知,,,,过点E作轴面ABCE,
如图,建立空间直角坐标系.
可得:
E(0,0,0),A(,0,0),
C(0,1,0),D()………7分
,设平面DCA的法向量为,
解得:
,…………9分
又平面DCE的法向量为,,
二面角E-DC-A的余弦值…………12分
1.线面垂直、面面垂直的判定与性质;
2.二面角的求法;
3.空间向量的应用.
21.(本小题满分12分)
平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)记椭圆的上,下顶点分别为A,B,设过点的直线与椭圆分别交于点,求证:
直线必定过一定点,并求该定点的坐标.
(Ⅰ);
(Ⅱ)证明见解析,定点坐标为.
(Ⅱ)点的坐标为
直线方程为:
,直线方程为:
,即.
分别与椭圆联立方程组,可得:
和,………………6分
由韦达定理可解得:
.……………8分
如果考虑消去,得到:
及
进一步亦可得到
直线的斜率,则直线方程为:
,化简可得直线的方程为,……………10分
恒过定点.
所以直线必过轴上的一定点.…………12分
1.椭圆的标准方程与几何性质;
2.直线与椭圆的位置关系.
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,设,若对任意,
恒成立,求实数的取值范围.
(1)当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
试题解析:
(1),令,
1.当时,,所以在上单调递增。
2.当时,令,,
所以在上单调递增,在上单调递减。
………………2分
3.当时,令,,
所以在上单调递减,在上单调递增。
……………4分
(2),因为,当时,,在单调减;
,当时,,在单调减.
因为对任意,,
不防设,则由两函数的单调性可得:
,
2.函数与不等式.
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