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与球心距离相等的两个截面圆面积相等
(3)圆的周长c=πd
球的表面积S=πd2
(4)圆的面积S=d2
球的体积V=d3
由实数构成的集合A满足条件:
若a∈A,a≠1,则∈A,证明:
(1)若2∈A,则集合A必有另外两个元素,并求出这两个元素;
(2)非空集合A中至少有三个不同元素.
分析:
从集合中的元素满足的条件“若a∈A,则∈A(a≠1)”出发;
当a=2时,依次进行检验,即可得证.
证明:
(1)∵a∈A,a≠1,则∈A.
∴2∈A时,有=-1∈A.
由于-1≠1,有=∈A.
由于≠1,有=2∈A.
如此循环可知集合A中的另外两个元素为,-1.
(2)∵集合A非空,故存在a∈A,a≠1,有∈A,
∴∈A且≠1,
即a≠0时,有=∈A,即如此循环出现三个数a,,∈A.若a=,则a2-a+1=0,方程无实根.
若==,则a2-a+1=0,方程无实根.
若a=,则a2-a+1=0,方程无实根.
∴a,,互不相等,故集合A中至少有三个不同元素.
分析法和综合法是对立统一的两种方法,在使用这两种方法解题是,一般步骤是:
(1)分析条件和结论之间的联系和区别,选择解题方向.
(2)确定恰当的解题方法,若能够结合题设条件,通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果,则用综合法,若从条件出发,应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果,则可以考虑使用分析法.
(3)解题反思,回顾解题过程,对所得结果和解题步骤进行检查,确保解题的严谨性和完备性.
设a>
0,b>
0,a+b=1,求证:
++≥8.
方法一 综合法
因为a>
0,a+b=1,
所以1=a+b≥2,≤,ab≤,所以≥4,
又+=(a+b)=2++≥4,
所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
方法二 分析法
0,a+b=1,要证++≥8.
只要证+≥8,
即证+≥4.
也就是证+≥4.
即证+≥2,
由基本不等式可知,当a>
0时,+≥2成立,
所以原不等式成立.
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命题“若p,则q”的否定是“若p,则¬
q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若p,则¬
q”为假,从而可以导出“若p,则q”为真,从而达到证明的目的.反证法反映了“正难则反”的解题思想.
一般以下题型用反证法:
①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;
②否定性命题、唯一性命题,存在性命题、“至多”“至少”型命题;
③有的肯定形式命题,由于已知或结论涉及无限个元素,用直接证明比较困难,往往用反证法.用反证法证明不等式要把握三点:
①必须先否定结论,即肯定结论的反面;
②必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;
③推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.
已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明:
不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则OP⊥OQ.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则·
=-1,
所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1·
x2,
即(1+a2)x1·
x2-a(x1+x2)+1=0.
由题意得(1-2a2)x2+4ax-3=0,
所以x1+x2=,x1·
x2=.
所以(1+a2)·
-a·
+1=0,
即a2=-2,这是不可能的.
所以假设不成立.故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
数学归纳法的两关关注
(1)关注点一:
用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始n0是多少.
(2)关注点二:
由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N*.
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;
(2)当a1≥2时,证明对所有的n≥1,有an≥n+1.
(1)由a1=2,得a2=a-a1+1=3.
由a2=3,得a3=a-2a2+1=4.
由a3=4,得a4=a-3a3+1=5.
由此猜想an的一个通项公式为an=n+1(n≥1).
(2)证明:
①当n=1时,∵an=a1≥2,n+1=1+1=2,∴不等式成立.
②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+1.
那么当n=k+1时,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+1)(k+1-k)+1=k+2.
也就是说,当n=k+1时,ak+1>
(k+1)+1.
根据①和②,对于所有n≥1,有an≥n+1.
一、选择题
1.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,以上推理的错误的原因是(A)
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
推理形式没有错误,而大前提“y=ax是增函数”是不正确的,当0<a<1时,y=ax是减函数;
当a>1时,y=ax是增函数.故选A.
2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:
1-+-+…+=2(++…)时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证(B)
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
因为n为正偶数,n=k(k≥2为偶数),所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立,所以,还需要证明n=k+2时等式成立,故选B.
3.若m,n是正整数,则m+n>
mn成立的充要条件是(D)
A.m,n都等于1
B.m,n都不等于2
C.m,n都大于1
D.m,n至少有一个等于1
∵m+n>
mn,∴(m-1)(n-1)<
1.
∵m,n∈N*,∴(m-1)(n-1)∈Z,
∴(m-1)(n-1)=0.
∴m=1或n=1,故选D.
4.下列结论正确的是(B)
A.当x>
0且x≠1时,lgx+≥2
B.当x>
0时,+≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0<
x≤2时,x-无最大值
A错在lgx的正负不清;
C错在等号成立的条件不存在;
根据函数f(x)=x-的单调性,当x=2时,f
(2)max=,故D错.故选B.
5.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值(D)
A.大于0B.小于0
C.不小于0D.不大于0
解法一 因为a+b+c=0,
所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
所以ab+bc+ca=-≤0.
解法二 令c=0,若b=0,则ab+bc+ca=0,否则a、b异号,所以ab+bc+ca=ab<0,排除A、B、C,故选D.
6.已知1+2×
3+3×
32+4×
33+…+n×
3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值为(A)
A.a=,b=c=
B.a=b=c=
C.a=0,b=c=
D.不存在这样的a、b、c
令n=1,得1=3(a-b)+c,
令n=2,得1+2×
3=9(2a-b)+c,
令n=3,得1+2×
32=27(3a-b)+c.
即,∴a=,b=c=.故选A.
7.若凸k边形的内角和为f(k),则凸(k+1)边形的内角和f(k+1)(k≥3且k∈N*)等于(B)
A.f(k)+B.f(k)+π
C.f(k)+πD.f(k)+2π
由凸k边形到凸(k+1)边形,增加了一个三角形,故f(k+1)=f(k)+π.故选B.
8.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10=(C)
A.18B.24
C.60D.90
由a=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),2a1+3d=0.再由S8=8a1+d=32,得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3.所以S10=10a1+d=60,选C.
二、填空题
9.若数列{an}满足:
a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=________;
前8项的和S8=________(用数字作答).
a1=1,a2=2a1=2,a3=2a2=4,a4=2a3=8,a5=2a4=16,易知S8==255,∴应填255.
答案:
16 255
10.(2014·
郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是________.
分别观察正方体的个数为:
1,1+5,1+5+9,…
归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,
所以Sn=n+[n(n-1)×
4]÷
2=2n2-n,
所以S7=2×
72-7=91.
91
11.(2014·
厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积,S表示截面面积,那么类比得到的结论是________.
类比如下:
正方形↔正方体;
截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥;
直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方;
直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和,结论S2=S+S+S.(这个结论是正确的,证明略)
S2=S+S+S
12.(2014·
洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式:
×
=1-,×
+×
=1-,……,由以上等式推测到一个一般的结论:
对于n∈N*,×
+…+×
=________.
由已知中的等式:
=1-
=1-,
=1-,…,
所以对于n∈N*,×
=1-.
1-
三、解答题
13.证明不等式:
…×
<
(n∈N*).
(1)当n=1时,左边=,右边=,显然<
,不等式成立.
(2)假设n=k时,不等式成立,
即×
,
则n=k+1时,×
=,要证n=
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