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教学难点:
函数极限的定义及其应用。
一、
复习:
数列极限的概念、性质等
二、
讲授新课:
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证
例2验证
例3验证
证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证
例5验证
例6验证
证由=
为使需有
为使需有
于是,倘限制,就有
例7验证
例8验证(类似有
(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9验证
证考虑使的
2.
单侧极限与双侧极限的关系:
Th
类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=
§
2函数极限的性质(2学时)
使学生掌握函数极限的基本性质。
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
函数极限的性质及其计算。
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.
唯一性:
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有
证设=(现证对有)
註:
若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.
迫敛性:
6.
四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2
例3
关于的有理分式当时的极限.
例4[利用公式]
例5
例6
例7
例8
例9
例10已知求和
补充题:
已知求和()
3函数极限存在的条件(4学时)
理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。
海涅定理及柯西准则。
海涅定理及柯西准则 运用。
讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:
Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.(证)
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.
例1证明函数极限的双逼原理.
例2证明
例3证明不存在.
二.
Cauchy准则:
Th2(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,
证
(利用Heine归并原则)
Cauchy准则的否定:
不存在的充要条件.
例4用Cauchy准则证明极限不存在.
证取
例5设在[上函数↘.则极限存在,在[上有界.(简证,留为作业).
§
4两个重要极限(2时)
掌握两个重要极限,并能熟练应用。
掌握两个重要极限,牢记结论;
掌握证明的基本思路和方法,并能灵活运用。
两个重要极限的证明及运用。
讲授定理的证明,举例说明应用,练习。
一.(证)(同理有)
例1
例2.
例4
例5证明极限不存在.
二.
证对有
例6特别当等.
例7
例8
5无穷小量与无穷大量阶的比较(2学时)
理解无穷小(大)量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
作为函数极限的特殊情形,要求掌握无穷小(大)量及其阶的概念,并由此求出某些函数的极限。
无穷小量:
定义.记法.
例1判断:
⑴可怜虫是很小很可怜的虫;
()
⑵无穷小量是很小很小的量.()
无穷小的性质:
性质1(无穷小的和差)
性质2(无穷小与有界量的积)
无穷小与极限的关系:
Th1(证)
二.无穷小的阶:
设时
1.高阶(或低阶)无穷小:
2.同阶无穷小:
三.
等价无穷小:
Th2(等价关系的传递性).
等价无穷小在极限计算中的应用:
Th3(等价无穷小替换法则)
几组常用等价无穷小:
(见[2])
例3时,无穷小与是否等价?
四.无穷大量:
定义:
性质:
性质1同号无穷大的和是无穷大.
性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.
性质3与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.
无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习题课(2学时)
一、理论概述:
二、范例讲析:
例1设数集无界.试证明:
存在数列{}使
例2设为定义在上的递增函数.证明:
极限存在的充要条件是函数在上有上界.
例3
证明:
对其中是Riemann函数.
例4设函数定义在内,且满足条件ⅰ>
ⅱ>
对有试证明是内的常值函数.
例5求极限{注意=有界}
例6求和.
解法一
又
解法二,由且原式极限存在,,即.
例7.求.
注意时,且.先求由Heine归并原则
即求得所求极限.
例8求和.并说明极限是否存在.
解;
可见极限不存在.
(注:
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)
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