行列式的计算方法及应用毕业论文文档格式.docx
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科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组,行列式正是由研究线性方程组产生的,并成为一种重要的数学工具,因此懂得解行列式就非常重要。
本文总结了行列式的十一种计算方法,并对每种方法进行例题跟踪。
另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。
【关键词】线性方程组行列式初中代数解析几何
Calculatingmethodsofdeterminantanditsapplication
Abstract
Scientificresearch,engineeringandeconomicactivitiesandtherearealotofproblemscanbeformulatedaslinearequations,thedeterminantisgeneratedbyasystemoflinearequations,andbecomeanimportantmathematicaltool,soitisveryimportanttoknowthesolutiondeterminant.Thispapersummarizeselevenmethodsofcalculatingthedeterminant,andeachmethodareexamplesoftracking.Alsodescribesthedeterminantintheapplicationofthetwoaspectsofjuniorhighschoolalgebraandanalyticgeometry
【KeyWords】linearequationsDeterminantjuniorhighschoolalgebraanalyticGeometry
学生:
建民指导老师:
王翠虹
前言
解方程是代数中一个基本问题,特别是在中学所学代数中,解方程占有重要地位。
比如说,如果一段导线的电阻为,它两端的点位差为,那么通过这段导线的电流强度为,就可以用关系式表示求出来。
这就是通常所谓解一元一次方程的问题。
在中学所学代数中,我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。
下面讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组。
对于二元线性方程组
当时,此方程组有唯一解,即
,
称为二级行列式,用符号表示为
当二级行列式
时,该方程组有唯一解,即
对于三元线性方程组有相仿的结论。
设有三元线性方程组
称代数式为三级行列式,用符号表示为:
=
我们有:
当三级行列式
时,上述三元线性方程组有唯一解,解为
其中
把这个结果推广到元线性方程组
的情形。
为此将要给出级行列式的定义及计算方法。
定义级行列式
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积
的代数和,这里是的一个排列,每一项都按下列规则带有符号:
当是偶排列时,带有正号,当是奇排列时,带负号。
这一定义可以写成
这里表示对所有级排列求和。
级行列式性质:
把行列式的各行变为相应的列,所得行列式与原行列式相等。
把行列式的两行(两列)对调,所得行列式与原行列式绝对值相等,符号相反。
把行列式的某一行(或一列)的所有元素乘以某个数,等于用数乘原行列式。
如果行列式某两行(或两列)的对应元素成比例,那么行列式等于零。
如果行列式的某一行(一列)的元是二项式,那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行(或列)而其余行(或列)不变的两个行列式的和。
把行列式某一行(或列)的所有元同乘以一个数,加到另一行(或一列)的对应元上,所得行列式与元行列式相等。
行列式某一行(或一列)的各元与另一行(或一列)对应元的代数余子式的乘积的和等于零。
行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。
一、行列式的计算方法
(一)、利用行列式定义计算
例1计算行列式
解:
展开式中项的一般形式是
显然,如果,那么,从而这个项都等于零。
因此只需考虑的那些项;
同理,只需考虑这些列指标的项。
这就是说行列式不为零的项只有这一项,而这一项前面的符号应该是正的。
所以
(二)、利用行列式的性质计算
例2计算级行列式
这个行列式的特点是每一行有一个元素是,其余个是。
根据性质6,把行列式第二列加到第一列,行列式不变,再把第三列加到第一列,行列式不变……直到第列也加到第一列,即得
=
把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍,就有
根据例1得
(三)、化三角形法
化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上(下)三角形行列式计算的一种方法,它是计算行列式的重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易计算上(下)三角形行列式。
因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作保值变形,再将其化为三角形行列式。
例3计算行列式
解
(四)、降阶法
降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开.
例5计算行列式
解
(五)、递推公式法
应用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如,n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式,这种关系式称为递推关系式。
根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值,便可递推求得所给n阶行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法。
例6计算阶行列式
解按第一列展开
于是有
及
从上两式削去,得
对于形如的所谓三角行列式,可直接展开得两项递推公式
,然后采用如下一些方法求解。
方法1如果较小,则直接递推计算。
方法2用第二数学归纳法:
即验证时结论成立,设结论成立,若证明时结论也成立,则对任意自然数结论相应也成立。
方法3将变形为,其中,
由韦达定理知是一元二次方程的两个根。
确定后,令,利用递推求出,再由递推求出。
方法4设代入得因此有(称为特征方程),求出其根(假设),则这里可通过取来确定。
例4求阶行列式的值
解按第一行展开得,即作特征方程解得,则
当时,,代入式得当时,,代入得联立求解得,故
(六)、利用德蒙行列式
例7计算行列式
解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此类推直到把新的第行的-1倍加到第行,便得德蒙行列式
其中“”表示连乘号。
(七)、加边法
计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算,这种计算行列式的方法叫做加边法。
当然,加边后要保证行列式的值不变,并且要使所得的高一阶行列式容易计算。
要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。
加法适用于某一行(列)有一个相同的字母外,也可用于其列(行)的元素分别为个元素的倍数的情况。
例8计算行列式
解给原行列式加边
(八)、数学归纳法
首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想的证明。
但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的,因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。
例9计算阶行列式
解用数学归纳法当时
假设时,有
则当时,把按第一列展开,得
(九)、连加法
如果行列式中某列(行)加上其余各列(行),使该列(行)元素均相等或出现较多零,进而简化行列式的计算方法称为连加法。
例10计算行列式
解它的特点是各列元素之和为,因此把各行都加到第一行,然而第一行再提出,得
将第一行乘以分别加到其余各行,化为三角形行列式,则
(十)、拆项发
把行列式的某一行(或列)的元素写成两数和的形式,然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,进而使行列式简化以便计算。
例11算行列式
(十一)、析因子法
例12算行列式
解由行列式定义知为的4次多项式,
又,当时,行相同,有,
所以为的根。
当时,行相同,有
故有4个1次因式:
设令,则
即,,所以
小结以上是行列式计算常用的方法,在实际计算中,不同的方法适应于不同特征的行列式,如定义法一般适用于0比较多的行列式,利用性质分为直接利用和利用性质化三角形行列式,降阶法主要是利用按行(列)展开公式,一般某行或某列含有较多的零元素。
每一种方法都有其各自的优点及其独特之处,因此研究行列式的解法有非常重要的意义。
二、行列式的应用
行列式是研究数学的重要工具之一,下面主要介绍行列式在代数和几何两个方面的应用。
(一)、行列式在代数中的应用
(1)用行列式解线性方程组
如果线性方程组
(其中代表未知量,代表未知量的系数,带表常数项。
)的系数行列式,那么,这个方程组有解,并且解事唯一的,可表示为
(2)用行列式因式分解
利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.
例13分解因式
解原式=
(3)用行列式证明恒等式
我们知道,把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变;
如果行列式中有一行(列)的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.
例14已知求证
证明令,则
命题得证。
(二)、行列式在几何中的应用
(1)用行列式表示三角形的面积
以平面三点,,为顶点的的面积是
证明将平面,,三点扩充到三维空间,其坐标分别为,,,其中为任意常数。
由此可得
,
面积为
(2)用行列式表示直线方程
直线通过两点和的直线方程为
证明由两点式,我们的直线方程为
将上式展开并化简,得
此式可进一步变形为
此式为行列式按第三行展开所得结果,原式得证。
(3)三线共点
平面三条互不平行的直线
相交于一点的充要条件是
(4)三点共线
平面三点,,在一直线的充要条件是
参考文献
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