(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc

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2.反比例函数的综合应用

知识点剖析

序号

知识点

预估时间

掌握情况

1

2

3

4

5

教学内容

内容讲解

1．反比例函数：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2．反比例函数的图象和性质．

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质①当k>

0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加是减小；

②当k<

0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

3．反比例函数的确定方法：

由于在反比例函数关系式y=中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．

4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：

①设所求的反比例函数为：

y=（k≠0）；

②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；

③由代入法解待定系数k的值；

④把k值代入函数关系式y=中．

例题剖析

例1如果函数y=k的图象是双曲线，且在第二、四象限，那么k的值是多少？

分析：

若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=，且k≠0，若图象在第二、四象限，则k<

0，故可求出k的值．

解：

由反比例函数定义，得

所以k=-1，这时函数为y=-．

评注：

函数y=kxm反比例函数，则m=-1，k≠0；

若y=是反比例函数，则m=1，k≠0．

例2函数y=kx和y=（k<

0）在同一坐标系中的图象是（）

对于y=kx来说，当k>

0时，图象经过一、三象限，当k<

0时，图象经过二、四象限；

对于y=来说，当k>

0时，图象在一、三象限，当k<

0时，图象在二、四象限，所以应选（C）．

（C）．

由于两个函数中的k是相同的，所以可以把k分为两类进行讨论，当k>

0时的图象是什么？

当k<

0时的图象是什么？

例3如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=（k>

0）的图象交于点A，若取k为1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20=_________．

因为过正比例函数与反比例函数的交点作x轴的垂线，x轴，正比例函数与垂线所围成的Rt△AOB的面积是k的一半．

105．

若k取大于0的自然数1，2，3，……n，则对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，S3……Sn，则S1+S2+S3+……+Sn=．

例4正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为________．

易知四边形ABCD是一平行四边形，故可知其面积为S的4倍，为一常数．

函数y=x与y=的图象交点A、C的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB的面积等于，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD的面积为2．

理解反比例函数中的不变量k的几何意义是解题的关键．

例5两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=________．

分析：

解题关键是抓住点P1，P2，P3，…，P2005与点P1，P2，P3，…，P2005的横坐标相同．

当点P1，P2，P3，…，P2005在函数y=的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，…，4009时相应的横坐标分别为，…．Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005）在函数y=的图象上，且这些点的横坐标分别与点P1，P2，P3，…，P2005的横坐标相同，点Q2005横坐标是．所以点Q2005的纵坐标是y2005==．

本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．

例6反比例函数y=（k>

0）在第一象限内的图像如图所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q．设△POQ的面积为S，那么S的值与k的值是否存在关系？

若有关系，请写出S与k之间的关系式；

若没有关系，请说明理由．

因为S△POQ=·

OQ·

PQ，若设P点坐标为P（x，y），则OQ=│x│，PQ=│y│，又因为P点在第一象限，所以x>

0，y>

0，因此可以得到S△POQ=xy，而由y=可以得到xy=k，于是可以确定S与k的关系式．

S与k之间的关系式为S=k，

设P点的坐标为P（x，y），则OQ=│x│，PQ=│y│．

∵点P在第一象限内，∴x>

0，

∴OQ=x，PQ=y．

∴S△POQ=·

PQ=xy．

又∵xy=k，∴S△POQ=k．

评注：

反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．

例7如图所示，已知反比例函数y=的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求△POQ的面积．

由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=上，可以求得P点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．

又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）代入即可求出一次函数的解析式，△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．

（1）∵点P在反比例函数y=的图像上，且其纵坐标为6．

∴=6解得x=2，∴P（2，6）．

又∵点P在函数y=kx+4的图像上，

∴6=2k+4，解得k=1．

∴所求一次函数的解析式为y=x+4．

（2）解方程组

∴点Q的坐标为（-6，-2）．

令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．

∴函数y=x+4的图像与x轴的交点是N（-4，0）．

∴△PON和△QON的公共边ON=4，ON边上的高分别为PA=6，QB=2．

∴S△POQ=S△PON+S△QON=×

4×

6+×

2=16．

本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．

例8为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范围是__________；

药物燃烧后y关于x的函数关系式为________．

（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．

（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？

为什么？

这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，同时要学会看图形．

由图知药物燃烧时，函数为正比例函数

设y与x的解析式为y=kx（k≠0）

∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=，

∴y与x的解析式为y=x（0<

x≤8）．

药物燃烧后函数为反比例函数

设y与x的解析式为y=（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×

6=48．

∴y与x的解析式为y=（x>

8）．

（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中

y==30（分钟）

答：

从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．

（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>

10．

即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．

本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．

例9某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：

2001

2002

2003

2004

投入技改资金x（万元）

2.5

3

4

4.5

产品成本y（万元/件）

7.2

6

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；

（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．

①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？

（结果精确到0.01万元）？

观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变，故表中数据满足反比例函数关系．

（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b

当x=2.5时，y=7.2；

当x=3时，y=6

∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2．

把x=4时，y=4.5代入此函数解析式

左边≠右边，∴其不是一次函数．

同理，其也不是二次函数．

设其为反比例函数，解析式为y=

当x=2.5时，y=7.2可得7.2=，得k=18

∴反比例函数为y=．

验证：

当x=3时，y==6，符合反比例函数．

同理可验证：

x=4时，y=4.5；

x=4.5时，y=4成立．

∴可用反比例函数y=表示其变