教学设计《等腰三角形》数学沪科版八上Word格式文档下载.docx
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探究点一:
等边对等角
【类型一】利用等边对等角求角度
等腰三角形的一个内角是50°
,则这个三角形的底角的大小是( )
A.65°
或50°
B.80°
或40°
C.65°
或80°
D.50°
解析:
当50°
的角是底角时,三角形的底角就是50°
;
的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°
.故选A.
方法总结:
等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.
【类型二】利用方程思想求等腰三角形中角的度数
如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是( )
A.18°
B.24°
C.30°
D.36°
根据等腰三角形“等边对等角”的性质,求出∠C,再在△BCD中可求出∠DBC的度数.在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.设∠C=∠ABC=x°
,∵∠A=36°
,∴x+x+36=180,解得x=72,∴∠C=72°
.∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°
.在△BDC中,∠DBC=180°
-90°
-72°
=18°
关于三角形内角度数的计算问题,可以把其中的某个角设为未知数,并把另外两个角用这个未知数的代数式(或已知数据)表示,然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解.
探究点二:
等腰三角形“三线合一”
如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,S△ABC=48cm2,点D为BC的中点,DE⊥AC于点E,则DE等于( )
A.5cm
B.4.8cm
C.2.4cm
D.2cm
利用等腰三角形“三线合一”的性质,连接AD,根据D为BC的中点可以得到CD=BC=6,AD⊥BC.又S△ABC=·
AD·
BC=48cm2,BC=12cm,可得AD=8cm.因为DE⊥AC,因此S△ADC=AD·
CD=AC·
DE,即AD·
DE,从而可得DE=4.8cm.故选B.
本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式;
在等腰三角形中,“三线合一”是常作的辅助线,作出辅助线后容易找出解决问题的突破口.
探究点三:
等边三角形的性质
如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=________度.
根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°
,
根据CG=CD可得出∠CDF的度数,再根据DF=DE,最后即可得出∠E=15°
.∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°
,∵CG=CD,∴∠CDG=30°
,∵DE=DF,∴∠E=15°
.故答案为15.
等边三角形的每一个内角都等于60°
等腰三角形的两个底角相等;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在本题中,这三个定理得到了很好的诠释.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.
三、板书设计
教学反思:
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.
第2课时
《等腰三角形的判定定理及推论》教学设计
1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程;
2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论,能运用定理和推论进行简单的推理和计算;
3.通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论,能运用定理和推论进行简单的推理和计算。
通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米.
同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?
他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢?
今天我们就要学习等腰三角形的判定.
等腰三角形的判定
【类型一】判定一个三角形是等腰三角形
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:
△CEF是等腰三角形.
根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边可得CE=CF,从而可得△CEF是等腰三角形.
证明:
∵在△ABC中,∠ACB=90°
,∴∠B+∠BAC=90°
.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°
,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
【类型二】等腰三角形性质和判定的综合运用
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°
时,求∠DEF的度数.
(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“SAS”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,∵∴△BDE≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:
∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50°
,AB=AC,∴∠B=×
(180°
-50°
)=65°
,∴∠DEF=65°
.
等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
等边三角形的判定
等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?
试说明你的结论.
先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°
,从而得出△APQ是等边三角形.
解:
△APQ为等边三角形.证明如下:
∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中,
∵∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°
,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°
,∴△APQ是等边三角形.
判定一个三角形是等边三角形有两种方法:
一是证明三角形三个内角相等;
二是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60°
这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用,教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.学生刚刚学过等腰三角形的性质,对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论,并能够灵活应用它进行有关论证和计算,提高学生的动手、归纳、猜想能力,发展学生证明用文字表述的几何命题的能力,使他们进一步掌握归纳思维方法,领会数学中分类讨论思想、转化思想.本节课的不足之处有:
等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究,这点强调得不够。
第3课时
《直角三角形中30°
角的性质定理》教学设计
1.理解并掌握含30°
角的直角三角形的性质定理;
2.能灵活运用含30°
角的直角三角形的性质定理解决有关问题。
理解并掌握含30°
角的直角三角形的性质定理。
能灵活运用含30°
角的直角三角形的性质定理解决有关问题
问题:
1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系?
2.用你的30°
角的直角三角尺,把斜边和30°
角所对的直角边量一量,你有什么发现?
今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.
探究点:
含30°
角的直角三角形的性质
【类型一】利用含30°
角的直角三角形的性质求线段长
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=30°
,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°
,∴∠ACD=∠B=30°
.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
运用含30°
角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°
,则CD=________.
因为三角形的高相对于三角形有三种情况:
①在三角形的内部;
②在三角形的外部;
③在三角形的边上.因为此三角形为等腰三角形,第三种情况可以排除.故应分两种情况讨论:
如图甲,当△ABC为锐角三角形时,由BD是高,根据直角三角形的性质易得AD=AB=5cm,CD=AC-AD=5cm;
如图乙,当△ABC为钝角三角形时,易得AD=AB=5cm,CD=AC+AD=15cm.故答案为5cm或15cm.
此题比较简单,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图,∠AOP=∠BOP=15°
,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3B.2C.1.5D.1
如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°
.又∵PC=3,∴PE=PC=×
3=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
角的直角三角形与角平分线、垂直
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