高考冲刺高考数学文全真模拟演练三解析word版Word格式.docx
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该题考查的是有关共轭复数的概念,属于基础题目.
3.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:
存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是
由题意明确不超过30的素数有10个,满足题意的孪生素数对有4个,利用古典概型公式可得结果.
不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,
根据素数对(p,p+2)称为孪生素数,
则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),
共有4组,能够组成孪生素数的概率为,
故选D
本题考查古典概型概率公式,考查组合知识的应用,考查分析问题解决问题的能力.
4.已知向量,,则()
A
因为,所以=(5,7),故选A.
考点:
本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题.
5.已知,,,则().
C
试题分析:
因为所以选C.
比较大小
6.已知等差数列的前项和为,,,则数列的前2020项和为()
根据,,求得,再利用裂项相消法求,令代入,即可得答案.
因为数列是等差数列,所以.
设公差为,因为,
所以解方程组得
所以数列的通项公式为,
所以.设为数列的前项和,
则
∴
A.
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意利用裂项相消法进行求和.
7.设函数,其中,已知在上有且仅有4个零点,则下列的值中满足条件的是()
设,则,从而将问题转化为在上有4个零点,从而得到,再利用不等式恒成立问题求得的范围,即可得答案.
设,则,
所以在上有4个零点,
因为,所以,
所以,
所以,即,满足的只有A.
本题考查根据三角函数的零点个数求参数值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意换元法的应用.
8.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则()
A.1B.2C.3D.4
通过三视图可知:
该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体,利用几何体的体积求出的值.
该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体,设组合体的体积为,所以,故本题选B.
本题考查了通过三视图识别组合体的形状,并根据体积求参数问题,考查了数学运算能力.
9.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;
如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入的值为10,则输出的值为()
A.5B.6C.7D.8
根据流程逐步分析,直到时,计算出的值即可.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7).
故选B.
本题考查根据程序框图计算输出值,难度较易.程序框图问题,多数可以采用列举法的方式解答问题.
10.已知函数,则方程恰有两个不同的实根时,实数的取值范围是().
作出函数与的图象,讨论交点个数可求出的取值范围.
作出函数的图象,见下图.
若与相切,求导得,设切点为,则,切线斜率为,即切线方程为:
该切线过原点,则,解得,此时,显然与的图象只有一个交点,即方程只有一个实根;
若,直线与的图象在时无交点,在时有2个交点,符合题意;
若,直线与的图象在时有1个交点,在时有2个交点,不符合题意;
若,直线与的图象在时有1个交点,在时无交点,不符合题意;
若,,直线与的图象至多有一个交点,不符合题意.
所以只有符合题意.
故选:
B.
本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.
11.设抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,设,与相较于点.若,且的面积为,则的值为()
A.B.2C.D.
由题,可得,又由及的面积为,得,然后通过求的解,即可得到本题答案.
根据已知,,由,得,不妨设点在第一象限,则,即,所以,易知,,所以,所以的面积是面积的3倍,即,所以,解得.
本题主要考查抛物线与直线的综合问题,考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.
12.已知函数的值域与函数的值域相同,则的取值范围为()
求导得到在上递增,在上递减,得到,计算得到答案.
时,;
,,
∴在上递增,在上递减,
,即的值域为.
令,则,
∵在上递增,在上递减,要使的值域为,
则,∴的取值范围是,
本题考查了根据函数值域求参数,意在考查学生的综合应用能力.
二、填空题
13.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
函数的导数为,所以在的切线斜率为
,所以切线方程为,即.
14.在等比数列中,,,成等差数列,则_______.
根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足,将所求式子化为和的形式,化简可得结果.
,,成等差数列
即:
,解得:
本题正确结果:
本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题,关键是能够求解出等比数列的基本量,属于基础题.
15.函数在处取得最大值,则______
利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式:
,并求出和,由条件和正弦函数的最值列出方程,求出的表达式,由诱导公式求出的值.
解:
,其中,
依题意可得,即,
所以
故答案为:
本题主要考查辅助角公式、诱导公式,以及正弦函数的最大值的应用,考查化简、变形能力.
16.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵,如图,
在堑堵中,,,堑堵的顶点到直线的距离为m,到平面的距离为n,则的取值范围是________.
.
设,,利用等面积法和等体积法求出m,n关于a的不等式,根据a的范围得出的值.
设,,
则,,,且B到平面的距离为.
,
又,
.
本题考查了空间距离的计算,棱锥的体积公式,属于中档题.
三、解答题
17.在平面四边形中,,,,.
(1)求;
(2)若,求.
(2).
(1)根据正弦定理可以得到,根据题设条件,求得,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得;
(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得,之后在中,用余弦定理得到所满足的关系,从而求得结果.
(1)在中,由正弦定理得.
由题设知,,所以.
由题设知,,所以;
(2)由题设及
(1)知,.
在中,由余弦定理得
所以.
该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件,以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系,从而正确求得结果.
18.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:
(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
(1)见解析;
(2)见解析.
(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;
(2)由题意首先证得线面垂直,然后结合线面垂直证明线线垂直即可.
(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1,A1B1平面DEC1,
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
19.2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬,严重影响了居民的生活.为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;
另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势,决定响应政府号召,扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表:
生猪存栏数量(千头)
2
3
4
5
8
头猪每天平均成本(元)
3.2
2.4
1.9
1.5
(1)研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系,请帮他求出关于的线.性回归方程(保留小数点后两位有效数字)
(2)研究员乙根据以上数据得出与的回归模型:
.为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注:
称为相应于点的残差);
模型甲
估计值
残差
模型乙
1.76
1.4
0.14
0.1
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元;
生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按
(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?
请说明理由.(利润=收入-成本)
参考公式:
参考数据:
(2)模型的拟合效果更好;
(3)选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.
(1)利用公式直接计算得到答案.
(2)计算得到,得到答案.
(3)根据模型分别计算利润,比较大小得到答案.
(1)由题知:
,故.
(2)①经计算,可得下表:
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