电路的频率响应和谐振现象Word文档格式.docx
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Q=
〔评注〕:
在截止频率处,频率响应等于最大值的0.707倍,此点也称为半功率点。
从品质因数较低可看出,电路从通带到止带的过渡是很缓慢的,与理想特性相差甚远,因此实际电路通常采用有源滤波或其它形式的电路,以改进频率响应。
例10.2滤波器电路如图10.5所示,欲设计中心频率ω=1000Hz,带宽为100Hz,试确定各元件的值。
图10.5例10.2用图
分析:
这是一个有源滤波电路,首先必须根据节点方程和理想运算放大器的特性,求出输出电压与输入电压之比,再于标准形式比较,得到中心频率和带宽与元件的关系,求出元件值。
解:
设节点电位u1,列节点电位方程:
消去U1(s),得到H(s)=
H(s)=
H(jω)=
可见这是个带通滤波电路。
B=
设C=0.1μf则kΩ
假定R1>
>
R2
==0.5kΩ
取R1=100kΩ即可。
〔评注〕利用各变量的拉普拉斯变换,使推导和计算更为方便。
另外,在设计元件时,往往需要一些近似,或者先确定某个元件值,再由公式确定另外一些元件值。
例10.3一个RLC串联谐振电路,电源电压Us=1V,且保持不变。
当调节电源频率,使电路达到谐振时,f=100kHz,这时回路电流I=100mA;
当频率改变为f=99kHz时,回路电流I=70.7mA。
求回路的品质因数和电路r,L,C参数值。
当外加电源振幅不变,但频率变化时,由于L,C的存在,使电路响应发生不同的变化。
电路达到谐振时,回路电流最大,当失谐时,电流相应减小,且f=99kHz时,电流为谐振时的0.707倍,此频率点为电路的截止频率。
∵f0=
∴LC=
又∵f1为99kHz,回路电流I==0.707×
I0
∴f1为回路的截止频率。
B=2(f0-f1)=2kHz
而I0=Us/r
联立求解,得:
r=10Ω
L=796mH
C=3180μf
Q=20
做题时,要熟知串联谐振电路的特性与一些公式,如谐振时,回路电流最大,且与电源电压同相,电阻上电压就等于电源电压,所以I0=Us/r,以及谐振角频率与通频带的公式,则求解就很方便了。
例10.4电路如10.6所示,图中0<
k<
1。
求电路的谐振频率f0。
图10.6例10.4用图
当电路谐振时总阻抗为纯电阻,因此通过求等效阻抗或等效导纳,使虚部为零来寻找谐振频率与元件的关系。
设电流=++jωC()
=
Y=
令其虚部为零,则
如果是规则的串联或并联谐振电路,则谐振频率只要带入公式求即可,对于本题这种电路,只能通过谐振电路的本质特性去求,也就要求对谐振电路的谐振现象有更深刻的理解。
例10.5如图10.7(a)所示谐振电路。
已知谐振回路本身Q0=40,信号源内阻Ri=40kΩ,C=100pf,L=100μH。
(a)图10.7例10.5用图(b)
求
(1)谐振频率f0及电路通频带。
(2)当接上负载RL=40kΩ,电路通频带有何变化?
并联谐振电路在接入电源后,其电路的谐振频率不变,谐振频率仅与电路参数有关。
Q0是回路本身仅与电阻r有关的品质因数,内阻的引入使总电路的品质因数和通频带都会发生变化,内阻越小,影响越大,接入负载的影响同样。
(1)
=1.59×
10Hz
Q0=
电路等效为图10.7(b)
Q=
B==5×
10=500kHz
(2)当接入RL时,Q进一步降低,通频带进一步展宽
Q=
B==3×
250=750kΩ
求解实用性并联谐振电路,一般先等效成完全并联谐振电路,然后由已知条件,求出未知参数。
另外,对串联谐振电路,串入的内阻越大,品质因数变的越小;
而对并联谐振电路,电源内阻越小,品质因数变的越小。
例10.6电路如图10.8所示,us(t)中含有基波及谐波成分,ω0=1000rad/s,若使电路能阻止二次谐波电流通过,让基波顺利通过负载,求C1和C2。
若阻止二次谐波电流通过,则应使电路某一局部断开;
使基波顺利通至负载,则从电源到负载对基波的阻抗应为零,这样通过串并联谐振都能实现。
令L和C1对二次谐波发生并联谐振,则局部Y=0,Z=∞
==10μf
当ω<
2ω0时,L与C1并联电路呈感性,并与C2组成串联谐振电路
令:
得C2=30μf
图10.8例10.6用图
例10.7正弦稳态电路如图10.9所示。
us(t)=(4+cos10t+2cos2×
10t)V,求输出u0(t)。
图10.9例10.7用图
由于电感、电容对不同频率信号呈现的阻抗不同,所以要分别计算us(t)中的三个分量引起的响应。
(1)当us1(t)=4V时,直流稳态电路中电感短路,电容开路,则u01(t)=0。
(2)当uS2(t)=6cos10tV作用时,由L1及C1形成的导纳
Y=jωC1-j=j×
10-j=0
所以L1与C1对ω=10rad/s形成并联谐振,阻抗无穷大,形成断路
u02(t)=us2(t)=3cos10tV
(3)当us3(t)=2cos2×
10tV作用时,由L1,C1,L2形成的总阻抗
Z=+jωL2=+j=0
因而相当于对2×
10rad/s形成串联谐振,电路短路
u03=0
三个分量迭加:
u0(t)=3cos10tV
当不同频率信号作用时,要分别建立相量模型来求解。
这里是巧妙地利用并联谐振与串联谐振,使计算简单化。
例10.8图10.10所示电路为中频放大器选频等效电路,信号源is(t)含有多个频率分量,最低频率为455kHz,最高频率为475kHz,信号源内阻为90kΩ,并联谐振电路作为负载,其中L=244μH,C=400pf,空载品质因数Q0=115。
求:
(1)此时输出u(t)是否有严重失真?
为什么?
(2)欲减小失真,采取何种措施?
是否失真,就要判断输入信号频率是否处于电路的通频带内,若在通频带外则产生失真。
图10.10例10.8用图
(1)ω0===10
f0==509.7kHz
等效电路如图10.10(b)
R0==×
=Q0=89.8kΩkΩ
则Q=ω0C(Rs//R0)=1/2Q0=52.5
B=f0/Q=509.7/52.5=9.7Hz
从中看出,电源信号频率在(f0-5,f0+5)之外,输出严重失真。
(2)欲减小失真,可以并接电阻,降低Q值,增宽频带,但是一味降低电阻,Q值变低,只能使电路性能变坏,所以最好是改变中心频率,使f0=465kHz,这样只要改变电容参数就可以办到。
从中得知,通频带没有达到要求,因此应再并接一个电阻,使通频带达到10kHz。
[评注]一个电路的好坏,应根据对它的要求来评判。
如本题,要使电源的最低频率到最高频率处于通频带之内,且它的范围就是通频带,这就要求中心频率在通频带中间。
若通频带过宽,品质因数太低,则电路的性能变坏,因此应根据要求来选电路参数。
例10.9如图10.11(a)所示电路,已知谐振频率f0=465kHz,回路自身的品质因数Q=100,初级线圈N=160匝,N1=40匝,次级线圈N2=10匝,C=200pf,电源内阻Rs=16KΩ,负载电阻RL=1kΩ。
电感L和回路的有载品质因数QL。
这是从线圈中间引出线接电源的谐振电路,根据原理,首先求出LC两端的等效电路,其次的计算和LC并联谐振电路一样。
图10.11例10.9用图
接入系数
m===
等效电路如图(b)
Rs=Rs=256kΩ
R0==Q=172kΩ
L==586uH
RL’=×
RL=256kΩ
总的等效电阻R=Rs’//R0//RL’=73.4kΩ
QL=ω0CR42.9
[评注]:
N1与N2构成理想变压器,根据变阻抗特性,先把负载等效到N1两端,再由接入系数,将其等效到N两端,同时将电源与内阻也等效到LC并联回路两端,其次的计算和简单并联谐振电路计算相同。
三.习题
1.单项选择题(将正确答案填写在题后的括号中)
(1)rLC串联电路发生谐振时,下列选择哪个是错误的?
()
(A).电流最小(B)电流最大(C)阻抗模值最小(D)电压电流同相
(2)如图
(2)电路,已知Is=5mA。
当电路对电源频率谐振时,IL0=()
(2)图10.12习题1(3)
(A)jQ(B)-jQ(C)QIs(D)-Qis
(3)图(3)所示并联谐振电路,其品质因数Q为()
(A)10(B)20(C)40(D)80
(4)如图(4)所示电路,有二个谐振角频率ω01与ω02,在电源处于ω01与ω02之间时,等效电抗为什么性质?
(A)容性(B)感性(C)阻性(D)不确定
图10.12习题1(4)图10.13习题2
(1)
2.填空题
(1)如图
(1),向量模型,已知=100/V,则当电路处于谐振时=___。
(2)图
(2)所示电路,求电路的谐振频率ω0=__。
(2)图10.13习题2(3)
(3)如图(3)所示,互感M=50μH,求电路的并联谐振频率ω0=__。
(4)如图(4)并联谐振电路,接入系数m=_
3.如图10.14是三层电路构成的滤波电路,试分析它是什么样的滤波电路,并求出ω0及
通带宽度BW
图10.13习题2(4)图10.14习题3
4.已知某系统的频率响应H(jω)如图10.15所示,当输入f(t)=2+0.5cost+2/3cos2t时,求输出y(t)。
图10.15习题4
5.RLC串联谐振电路的谐振频率为810kHz,品质因数Q为90,已知L=32mH
(1)求R,C和通频带BW。
(2)若电源电压Us=15V,求谐振时,电容两端的电压。
6.如图10.16所示并联谐振电路,电源内阻Rs=40kΩ,Is=1mA。
(1)电路的谐振频率和电源未接入时的品质因数。
(2)电源接入后,若电路已谐振,求品质因数及流过各元件的电流。
图10.16习题6图10.17习题7
7.电路如图10.17所示,输入us(t)为非正弦波,其中含有ω=3及7的谐波分量。
如果要求在输出电压中不含这两个谐波分量,问L和C应为多少?
8.某谐振电路如图10.18所示。
已知回路本身的品质因数Q0=105,L
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